Question

20．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$均為單位向量，且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$．
（1）若存在實數(shù)λ，μ使得$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow$，求證λ²+μ²=1；
（2）若（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）≤0，求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用已知得到兩個向量的模以及數(shù)量積，只要將$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow$兩邊平方，展開整理即得；
（2）由題意，設(shè)$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（0，1），$\overrightarrow{c}$=（x，y），由（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）≤0，得到向量$\overrightarrow{c}$滿足的等量關(guān)系，結(jié)合所求的幾何意義可得．

解答 解：（1）證明：因為$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$均為單位向量，且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$．所以${\overrightarrow{a}}^{2}$=1，${\overrightarrow}^{2}$=1，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，
且存在實數(shù)λ，μ使得$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow$，則${\overrightarrow{c}}^{2}=（λ\overrightarrow{a}+μ\overrightarrow）^{2}$=${λ}^{2}{\overrightarrow{a}}^{2}+{μ}^{2}{\overrightarrow}^{2}+2λμ\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=λ²+μ²=1，所以λ²+μ²=1；
（2）因為$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$均為單位向量，且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$．所以設(shè)$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（0，1），$\overrightarrow{c}$=（x，y），
由（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）≤0，得到-x（1-x）-y（1-y）≤0，整理得（x-$\frac{1}{2}$）²+（y-$\frac{1}{2}$）²≤$\frac{1}{2}$，
所以向量$\overrightarrow{c}$表示以（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），為圓心，$\frac{\sqrt{2}}{2}$為半徑的圓面，又|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{（1-x）^{2}+（1-y）^{2}}$，
由幾何意義得到它的最大值為$\sqrt{2}$，最小值為0，所以|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|的取值范圍為[0，$\sqrt{2}$]．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積以及向量垂直的性質(zhì)運用；（2）中運用了坐標(biāo)法的思想．