Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=2AD=4，E是DC的中點，以AE為折痕將△ADE向上折起，使D到P點位置，且PC=PB．
（Ⅰ）若F是BP的中點，求證：CF∥面APE；
（Ⅱ）求證：面APE⊥面ABCE；
（Ⅲ）求三棱錐C-PBE的體積．

Answer 1

分析：（I）取AB中點G，連接GF，GC，證明平面APE∥平面FGC，可得CF∥面APE；
（Ⅱ）取AE中點O，連接PO，取BC的中點H，連OH，PH，證明PO⊥面ABCE，即可證明面APE⊥面ABCE；
（Ⅲ）利用等體積轉化，即可求三棱錐C-PBE的體積．

解答：（Ⅰ）證明：取AB中點G，連接GF，GC，
∵EC∥AG，EC=AG，∴四邊形AECG為平行四邊形，
∴AE∥GC，
在△ABP中，GF∥AP，
又GF∩GC=G，AE∩AP=A，
∴平面APE∥平面FGC
∵FC?平面FGC，
∴CF∥面APE．…（4分）
（Ⅱ）證明：取AE中點O，連接PO，則PA=PE，OA=OE，∴PO⊥AE，
取BC的中點H，連OH，PH，
∴OH∥AB，∴OH⊥BC，
∵PB=PC，∴BC⊥PH，
∴BC⊥面POH，
∴BC⊥PO，
又BC與AE相交，可得PO⊥面ABCE，
所以，面APE⊥面ABCE．…（9分）
（Ⅲ）解：VC-PBE=VP-CBE=

1

3

S△BCE•PO=

1

3

×(

1

2

×2×2)×

2

=

2 2

3

．…（13分）

點評：本題考查線面平行，考查面面垂直，考查三棱錐體積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．