Question

4．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n能取到最大值，且滿足：a₁₀+a₁₁＜0，a₁₀•a₁₁＜0對(duì)于以下幾個(gè)結(jié)論：
①數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列；    
②數(shù)列{S_n}是遞減數(shù)列；
③數(shù)列{S_n}的最大項(xiàng)是S₁₀； 
④數(shù)列{S_n}的最小的正數(shù)是S₁₉．
其中正確的序號(hào)是①③④．

Answer 1

分析 直接由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的性質(zhì)逐一判斷得答案．

解答 解：∵等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n能取到最大值，
∴數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列，且d＜0，故①正確；
${S}_{n}=n{a}_{1}+\frac{n（n-1）d}{2}=\fracu8qmooh{2}{n}^{2}+（{a}_{1}-\fracjee1n1m{2}）n$，∵d＜0，∴數(shù)列{S_n}先增后減，故②錯(cuò)誤；
由a₁₀+a₁₁＜0，a₁₀•a₁₁＜0，得a₁₀＞0，a₁₁＜0，
∴數(shù)列{S_n}的最大項(xiàng)是S₁₀，故③正確；
由S₁₉=19a₁₀＞0，${S}_{20}=\frac{（{a}_{10}+{a}_{11}）20}{2}＜0$，得數(shù)列{S_n}的最小的正數(shù)是S₁₉，故④正確．
∴正確的序號(hào)是①③④．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，是中檔題．