Question

已知向量

a

=（1，sinx），

b

=（sin²x，cosx），函數(shù)f（x）=

a

•

b

，x∈[0，

π

2

]
（1）求f（x）的最小值；
（2）若f（α）=

5

6

，求sin2α的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標運算公式，結(jié)合二倍角三角公式和輔助角公式化簡整理得f（x）=sin（2x-

π

4

）+

1

2

．再根據(jù)x∈[0，

π

2

]，得到當x=0時，f（x）的最小值為f（0）=0；
（2）由（1）的結(jié)論，得到sin（2α-

π

4

）=

2

3

，利用同角三角函數(shù)的平方關系結(jié)合2α-

π

4

取值范圍，算出cos（2α-

π

4

）=

7

3

，最后利用配角和兩角和的正弦公式，即可算出sin2α的值．

解答：解：（1）∵向量

a

=（1，sinx），

b

=（sin²x，cosx），
∴f（x）=

a

•

b

=sin²x+sinxcosx=

1-cos2x

2

+

1

2

sin2x=

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]
因此，當2x-

π

4

=-

π

4

，即x=0時，f（x）取得最小值，最小值為f（0）=0；
（2）由（1）得f（α）=

2

2

sin（2α-

π

4

）+

1

2

=

5

6

，化簡得sin（2α-

π

4

）=

2

3

∵α∈[0，

π

2

]，2α-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，且sin（2α-

π

4

）=

2

3

＜sin

π

4

∴2α-

π

4

∈[0，

π

4

]，得cos（2α-

π

4

）=

1-( 2 3 )2

=

7

3

因此可得：
sin2α=sin[（2α-

π

4

）+

π

4

]=

2

2

[sin（2α-

π

4

）+cos（2α-

π

4

）]=

2+ 14

6

．

點評：本題以向量數(shù)量積為載體，求函數(shù)的最小值和三角函數(shù)值．著重考查了向量數(shù)量積坐標運算公式、三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．