已知向量
a
=(1,sinx),
b
=(sin2x,cosx),函數(shù)f(x)=
a
b
,x∈[0,
π
2
]
(1)求f(x)的最小值;
(2)若f(α)=
5
6
,求sin2α的值.
分析:(1)根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式,結(jié)合二倍角三角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)整理得f(x)=sin(2x-
π
4
)+
1
2
.再根據(jù)x∈[0,
π
2
],得到當(dāng)x=0時(shí),f(x)的最小值為f(0)=0;
(2)由(1)的結(jié)論,得到sin(2α-
π
4
)=
2
3
,利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系結(jié)合2α-
π
4
取值范圍,算出cos(2α-
π
4
)=
7
3
,最后利用配角和兩角和的正弦公式,即可算出sin2α的值.
解答:解:(1)∵向量
a
=(1,sinx),
b
=(sin2x,cosx),
∴f(x)=
a
b
=sin2x+sinxcosx=
1-cos2x
2
+
1
2
sin2x=
2
2
sin(2x-
π
4
)+
1
2

∵x∈[0,
π
2
],∴2x-
π
4
∈[-
π
4
,
4
]
因此,當(dāng)2x-
π
4
=-
π
4
,即x=0時(shí),f(x)取得最小值,最小值為f(0)=0;
(2)由(1)得f(α)=
2
2
sin(2α-
π
4
)+
1
2
=
5
6
,化簡(jiǎn)得sin(2α-
π
4
)=
2
3

∵α∈[0,
π
2
],2α-
π
4
∈[-
π
4
,
4
],且sin(2α-
π
4
)=
2
3
<sin
π
4

∴2α-
π
4
∈[0,
π
4
],得cos(2α-
π
4
)=
1-(
2
3
)
2
=
7
3

因此可得:
sin2α=sin[(2α-
π
4
)+
π
4
]=
2
2
[sin(2α-
π
4
)+cos(2α-
π
4
)]=
2+
14
6
點(diǎn)評(píng):本題以向量數(shù)量積為載體,求函數(shù)的最小值和三角函數(shù)值.著重考查了向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算公式、三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí),屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
a
=(sinωx,-cosωx),
b
=(
3
cosωx,cosωx)(ω>0),函數(shù)f(x)=
a
b
+
1
2
,且函數(shù)f(x)=
3
sinωxcosωx-cos2ωx+
1
2
的圖象中任意兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為π.
(1)求ω的值;
(2)已知在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,f(C)=
1
2
,且c=2
19
,△ABC的面積S=2
3
,求a+b的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
a
=(2cos
x
2
,1),
b
=(cos
π+x
2
,3cosx),設(shè)函數(shù)f(x)=(
a
-
b
)•
a

(1)若?x∈R,f(x)≤a(a∈R),求a的取值范圍;
(2)在△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且f(A)=4,a=
10
,求△ABC的面積S的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
a
=(2cos2x,
3
),
b
=(1,sin2x),函數(shù)f(x)=
a
b

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,a=1且f(A)=3,求△ABC的面積S的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
a
=(
3
,-1)
b
=(
1
2
,
3
2
)

(1)求證:
a
b
;
(2)是否存在最小的常數(shù)k,對(duì)于任意的正數(shù)s,t,使
x
=
a
+(t+2s)
b
y
=-k
a
+(
1
t
+
1
s
)
b
垂直?如果存在,求出k的最小值;如果不存在,請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知圓C:x2+y2=2,坐標(biāo)原點(diǎn)為O.圓C上任意一點(diǎn)A在x軸上的射影為點(diǎn)B,已知向量
OQ
=t
OA
+(1-t)
OB
(t∈R,t≠0)

(1)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡E的方程;
(2)當(dāng)t=
2
2
時(shí),過點(diǎn)S(0,-
1
3
)的動(dòng)直線l交軌跡E于A,B兩點(diǎn),試問:在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T,使得以AB為直徑的圓恒過T點(diǎn)?若存在,求出點(diǎn)T的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案