分析 (1)分別令n=1,2,3,4可以求出S1,S2,S3,S4的值,
(2)從而可猜想{Sn}的一個(gè)通項(xiàng)公式,方法一(裂項(xiàng)求和);
方法二:(數(shù)學(xué)歸納法)按照數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟:先證明n=1時(shí)命題成立,再假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立,去證明當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論也成立,從而得出命題an=2n+n對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立.
解答 解:(1∵Sn=11×2+12×3+13×4+…+1n(n+1)
∴S1=11×2=12,S2=11×2+12×3=23,S3=11×2+12×3+13×4=34,S4=45,
(2)由(1)可以猜想,Sn=nn+1,
理由如下:方法一(裂項(xiàng)求和):
∵1n(n+1)=1n-1n+1
∴Sn=11×2+12×3+13×4+…+1n(n+1)=1-12+12-13+…+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1,
方法二:(數(shù)學(xué)歸納法)
①當(dāng)n=1時(shí),顯然成立,
②假設(shè)n=k時(shí)成立,即Sk=kk+1,
那么,當(dāng)n=k+1時(shí),Sk+1=11×2+12×3+13×4+…+1k(k+1)+1(k+1)(k+2)=kk+1+1(k+1)(k+2)=k(k+2)+1(k+1)(k+2)=(k+1)2(k+1)(k+2)=k+1k+1+1
所以當(dāng)n=k+1時(shí),猜想成立,
由①②可知,猜想成立.
點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)學(xué)歸納法,考查推理證明的能力,假設(shè)n=k(k∈N*)時(shí)命題成立,去證明則當(dāng)n=k+1時(shí),用上歸納假設(shè)是關(guān)鍵,屬于中檔題.
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