Question

在數(shù)列{a_n中，a₁=a（a＞2）且
（1）求證a_n＞2（n∈N^*）；
（2）求證a_n+1＜a_n（n∈N^*）；
（3）若存在k∈N^*，使得a_k≥3，求證：．

Answer 1

證明：（1）①當(dāng)n=1時，a₁=a＞2，命題成立；
設(shè)當(dāng)n=k時（k≥1且n∈N^*）命題成立，即a_k＞2
而n=k+1時，[
∵a_k＞2，∴a_k-1＞1，∴，
∴∴，
∴n=k+1時，a_k+1＞2，命題也成立beiwen
由①②對一切n∈N^*有a_n＞2
（2）
∵a_n＞2，
∴a_n+1-a_n＜0，
∴a_n+1＜a_n
（3）∵a_n+1＜a_n，a_k≥3∴a₁＞a₂＞a₃＞…＞a_k-1＞a_k≥3
∴
即∴
∴，
∴，
∵a＞3，
∴
∴，又∴
分析：（1）本題的思路是用數(shù)學(xué)歸納法來證明，在從n=k到n=k+1時利用歸納假設(shè)時要充分變形，對分式進行分離變式，即變形為：，然后用上歸納假設(shè)a_k＞2，利用均值不等式可以解答了．
（2）證明a_n+1＜a_n，可以利用作差變形來證明，本題會用到（1）的結(jié)論，這一點要想到！
（3）的證明有一定難度，但是只要耐心，細心分析，不難找到解答思路．由已知a_k≥3要構(gòu)造出a_k的表達式來，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解出k的范圍．本問可以先由要求證的問題推演出，那么聯(lián)想條件a_k≥3，再利用放縮法構(gòu)造出的a_k的關(guān)系式來，問題就迎刃而解了．
點評：本題考查不等式的證明，綜合考查了數(shù)學(xué)歸納法，放縮法，作差法等方法；對不等式結(jié)構(gòu)的變形和靈活處理是本題的難點和關(guān)鍵所在，特別是在運用放縮法的時候更加體現(xiàn)出學(xué)生靈活的頭腦，熟練處理各種變形的機智和果敢．本題在某一個環(huán)節(jié)處理不當(dāng)將導(dǎo)致解答錯誤或者出力而不討好的結(jié)局．