Question

17．各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知點(diǎn)（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函數(shù)$y=\frac{1}{3}x$的圖象上，且${S_3}=\frac{13}{9}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n；
（2）已知數(shù)列{b_n}滿足b_n=4-n，設(shè)其前n項(xiàng)和為T(mén)_n，若存在正整數(shù)k，使不等式T_n＞k有解，且$k{（-1）^n}a_n^2＜{S_n}$（n∈N^*）恒成立，求k的值．

Answer 1

分析 （1）利用點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，推出遞推關(guān)系式，然后求解數(shù)列的和．
（2）利用不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的關(guān)系，通過(guò)二次函數(shù)的性質(zhì)，以及數(shù)列的和得到不等式，求解k即可．

解答 解：（1）由題意，${a_{n+1}}=\frac{1}{3}{a_n}$，
得數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，
得${a_1}+\frac{1}{3}{a_1}+\frac{1}{9}{a_1}=\frac{13}{9}$，解得a₁=1．
∴${a_n}={（\frac{1}{3}）^{n-1}}$.${S_n}=\frac{{1-{{（\frac{1}{3}）}^n}}}{{1-\frac{1}{3}}}=\frac{3}{2}[1-{（\frac{1}{3}）^n}]$．
（2）$k{（-1）^n}a_n^2＜{S_n}$（n∈N^*）恒成立等價(jià)于$k{（-1）^n}{（\frac{1}{3}）^{2（n-1）}}＜\frac{1}{2}[3-{（\frac{1}{3}）^{n-1}}]$（n∈N^*）恒成立，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，上述不等式左邊恒為負(fù)數(shù)，右邊恒為正數(shù)，所以對(duì)任意正整數(shù)k，不等式恒成立；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，上述不等式等價(jià)于$2k{（\frac{1}{3}）^{2（n-1）}}+{（\frac{1}{3}）^{n-1}}-3＜0$恒成立，
令${（\frac{1}{3}）^{n-1}}=t$，有$0＜t≤\frac{1}{3}$，
則①等價(jià)于2kt²+t-3＜0在$0＜t≤\frac{1}{3}$時(shí)恒成立，
因?yàn)閗為正整數(shù)，二次函數(shù)y=2kt²+t-3的對(duì)稱(chēng)軸顯然在y軸左側(cè)，
所以當(dāng)$0＜t≤\frac{1}{3}$時(shí)，二次函數(shù)為增函數(shù)，
故只須$2k{（\frac{1}{3}）^2}+\frac{1}{3}-3＜0$，
解得0＜k＜12，k∈N^*．{b_n}是首項(xiàng)為b₁=3，公差為d=-1的等差數(shù)列，所以前n項(xiàng)和${T_n}=3n+\frac{n（n-1）×（-1）}{2}$=$\frac{{-{n^2}+7n}}{2}$．
當(dāng)n=3或4時(shí)，T_n取最大值為6．T_n＞k有解?（T_n）_max＞k?k＜6．
又0＜k＜12，k∈N^*，
得0＜k＜6，k∈N^*，
所以k的取值為1，2，3，4，5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合，不等式的應(yīng)用，函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．