如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AC=AB=AA1,E是BC的中點.

(Ⅰ)求異面直線AE與A1C所成的角;

(Ⅱ)若G為C1C上一點,且EG⊥A1C,求二面角A1-AG-E的大�。�

答案:
解析:

  解法一:

  (Ⅰ)取的中點,連,則

  ∴或其補角是異面直線所成的角. 1分

  設,則,

  

  ∴. 3分

  ∵在中,. 5分

  ∴異面直線所成的角為. 6分

  (Ⅱ)由(Ⅰ)知,

  因為三棱柱是直三棱柱,∴平面

  又∵

  ∴. 7分

  ∴

  ∴

  ∴

  即,所得的中點. 8分

  連結,設的中點,過點,連結

  

  又∵平面平面

  ∴平面. 9分

  而,∴,∴是二面角的平面角. 10分

  由

  即二面角的為

  ∴所求二面角. 12分

  解法二:

  (Ⅰ)如圖分別以、、所在的直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標

  系. 1分

  設,則、、

  、. 2分

  ∴

  ∴. 5分

  ∴異面直線所成的角為. 6分

  (Ⅱ)設,則,

  由,知

  ∴. 8分

  設平面的一個法向量為,

  則,∵

  ∴,取,得. 9分

  易知平面的一個法向量,

  ∴. 11分

  ∴二面角的大小為. 12分


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