Question

已知：曲線C上任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線x=-1的距離相等．
（1）求曲線C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)作直線交曲線C于M，N兩點(diǎn)，若|MN|長(zhǎng)為，求直線MN的方程；
（3）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，如果直線y=k（x-1）交曲線C于A、B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)k，使得？若存在，求出k的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)曲線C上任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線x=-1的距離相等，可知曲線為拋物線，焦點(diǎn)在x軸上，且p=2，從而可得曲線C的方程；
（2）當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，不合題意；當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)MN：y=k（x-1），代入y²=4x，利用|MN|長(zhǎng)為，建立方程，即可求得直線MN的方程；
（3）將y=k（x-1），代入y²=4x，得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，驗(yàn)證x₁x₂+y₁y₂=-3≠0，故不存在滿足條件的k．
解答：解：（1）∵曲線C上任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線x=-1的距離相等
∴曲線為拋物線，焦點(diǎn)在x軸上，且p=2
∴曲線C的方程為y²=4x…（4分）
（2）當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，不合題意．…（5分）
當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)MN：y=k（x-1），代入y²=4x，得k²x²-2（k²+2）x+k²=0…（7分）
記M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），∴x₁x₂=1，，
∵|MN|長(zhǎng)為，
∴，
解得…（10分）
∴直線MN：…（11分）
（3）將y=k（x-1），代入y²=4x，得k²x²-2（k²+2）x+k²=0
記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴x₁x₂=1，，…（13分）∴…（15分）
∴x₁x₂+y₁y₂=-3≠0，
∴，∴不存在滿足條件的k．…（18分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的定義，考查曲線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是直線與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理進(jìn)行解題．