Question

12．已知函數(shù)f（x）=lnx+x²-ax（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=3時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）有兩個極值點x₁，x₂，且x₁∈（0，1]，證明f（x₁）-f（x₂）≥-$\frac{3}{4}$+ln2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=3時，求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負，即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）有兩個極值點x₁，x₂，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為2x²-ax+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，結(jié)合韋達定理，可得f（x₁）-f（x₂），構(gòu)造新函數(shù)，確定其單調(diào)性，即可得出結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=$\frac{{2x}^{2}-3x+1}{x}$，
令f′（x）＞0，可得0＜x＜$\frac{1}{2}$或x＞1，f′（x）＜0，可得$\frac{1}{2}$＜x＜1，
∴f（x）的遞增區(qū)間為（0，$\frac{1}{2}$）和（1，+∞），遞減區(qū)間為（$\frac{1}{2}$，1）；
（Ⅱ）證明：∵函數(shù)f（x）有兩個極值點x₁，x₂，
∴f′（x）=$\frac{{2x}^{2}-ax+1}{x}$=0，即2x²-ax+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴x₁+x₂=$\frac{a}{2}$，x₁x₂=$\frac{1}{2}$，
∴2（x₁+x₂）=a，x₂=$\frac{1}{{2x}_{1}}$，
∴f（x₁）-f（x₂）=lnx₁+x₁²-ax₁-（lnx₂+x₂²-ax₂）=2lnx₁-x₁²+$\frac{1}{{{4x}_{1}}^{2}}$+ln2（0＜x≤1）．
設(shè)F（x）=2lnx-x²+$\frac{1}{{4x}^{2}}$+ln2（0＜x≤1），則F′（x）=-$\frac{{（{2x}^{2}-1）}^{2}}{{2x}^{3}}$＜0，
∴F（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，
∴F（x）≥F（1）=-$\frac{3}{4}$+ln2，即f（x₁）-f（x₂）≥-$\frac{3}{4}$+ln2．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想．