Question

設函數．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）當時，求函數f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設函數，若對于?x₁∈[1，2]，?x₂∈[0，1]，使f（x₁）≥g（x₂）成立，求實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：確定函數f（x）的定義域，并求導函數
（Ⅰ）當a=1時，f（x）=lnx-x-1，求出f（1）=-2，f'（1）=0，即可得到f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）求導函數，令f'（x）＜0，可得函數f（x）的單調遞減區(qū)間；令f'（x）＞0，可得函數f（x）的單調遞增區(qū)間；
（Ⅲ）當時，求得函數f（x）在[1，2]上的最小值為f（1）=；對于?x₁∈[1，2]，?x₂∈[0，1]使f（x₁）≥g（x₂）成立，等價于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值，求出，x∈[0，1]的最小值，即可求得b的取值范圍．
解答：解：函數f（x）的定義域為（0，+∞），（2分）
（Ⅰ）當a=1時，f（x）=lnx-x-1，∴f（1）=-2，，
∴f'（1）=0，∴f（x）在x=1處的切線方程為y=-2（5分）
（Ⅱ）=（6分）
令f'（x）＜0，可得0＜x＜1，或x＞2；令f'（x）＞0，可得1＜x＜2
故當時，函數f（x）的單調遞增區(qū)間為（1，2）；單調遞減區(qū)間為（0，1），（2，+∞）．（8分）
（Ⅲ）當時，由（Ⅱ）可知函數f（x）在（1，2）上為增函數，
∴函數f（x）在[1，2]上的最小值為f（1）=（9分）
若對于?x₁∈[1，2]，?x₂∈[0，1]使f（x₁）≥g（x₂）成立，等價于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值（*）         （10分）
又，x∈[0，1]
①當b＜0時，g（x）在[0，1]上為增函數，與（*）矛盾
②當0≤b≤1時，，由及0≤b≤1得，
③當b＞1時，g（x）在[0，1]上為減函數，，
此時b＞1（11分）
綜上，b的取值范圍是（12分）
點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性，考查恒成立問題，解題的關鍵是將對于?x₁∈[1，2]，?x₂∈[0，1]使f（x₁）≥g（x₂）成立，轉化為g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值．