Question

4．如圖，矩形CDEF和梯形ABCD互相垂直，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=$\frac{1}{2}$CD，BE⊥DF．
（1）若M為EA的中點，求證：AC∥平面MDF；
（2）求平面EAD與平面EBC所成的銳二面角的大�。�

Answer 1

分析 （1）設EC與DF交于點N，連結MN，則MN∥AC，由此能證明AC∥平面MDF．
（2）以D為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面EAD與EBC所成銳二面角的大�。�

解答 證明：（1）設EC與DF交于點N，連結MN，
在矩形CDEF中，點N為EC中點，因為M為EA中點，所以MN∥AC，
又因為AC?平面MDF，MN?平面MDF，
所以AC∥平面MDF．-----（4分）
解：（2）因為平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD=CD，
DE?平面CDEF，DE⊥CD，
所以DE⊥平面ABCD，------（6分）
以D為坐標原點，建立如圖空間直角坐標系，
設DA=a，DE=b，B（a，a，0），E（0，0，b），C（0，2a，0），F(xiàn)（0，2a，b），
$\overrightarrow{BE}=（-a，-a，b），\overrightarrow{DF}=（0，2a，b），\overrightarrow{BC}=（-a，a，0）$，
因為BE⊥DF，
所以$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{DF}═（-a，-a，b）•（0，2a，b）={b^2}-2{a^2}=0$，$b=\sqrt{2}a$，--（8分）
設平面EBC的法向量$\overrightarrow m=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow m•\overrightarrow{BE}=-ax-ay+\sqrt{2}az=0\\ \overrightarrow m•\overrightarrow{BC}=-ax+ay\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow m=（1，1，\sqrt{2}）$，
平面EAD的法向量$\overrightarrow n=（0，1，0）$，--（10分）
而$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{|\overrightarrow m|•|\overrightarrow n|}=\frac{1}{2}$，
所以，平面EAD與EBC所成銳二面角的大小為60°．（12分）

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．