Question

20．已知正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為2，底面邊長(zhǎng)為3，則該正三棱錐的外接球的表面積為（　�。�

• A． $\frac{4}{3}π$
• B． 4π
• C． $\frac{32}{3}π$
• D． 16π

Answer 1

分析 由題意推出球心O到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，利用直角三角形BOE，求出球的半徑，即可求出外接球的表面積．

解答 解：如圖，∵正三棱錐A-BCD中，底面邊長(zhǎng)為 3，
側(cè)棱長(zhǎng)為2，BE=$\frac{2}{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$•3=$\sqrt{3}$，∴高AE=$\sqrt{{AB}^{2}{-BE}^{2}}$=1．
由球心O到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，
在直角三角形BOE中，BO=R，EO=$\sqrt{{OB}^{2}{-BE}^{2}}$=1-R，
由BO²=BE²+EO²，得R²=3+（1-R）²，R=2，
∴外接球的半徑為，表面積為：$\frac{4}{3}$•π•R³=$\frac{32π}{3}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于中檔題，考查空間想象能力，計(jì)算能力；直角三角形BOE是本題解題的關(guān)鍵，仔細(xì)觀(guān)察和分析題意，是解好數(shù)學(xué)題目的前提．