Question

16．已知圓心為C的圓（x-1）²+y²=6內(nèi)有點(diǎn)P（2，2），過點(diǎn)P作直線l交圓C于A，B兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí)，求直線l的方程．
（2）當(dāng)AB長為2$\sqrt{5}$時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心坐標(biāo)，從而求得直線的斜率，利用點(diǎn)斜式求直線的方程．
（2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，利用弦長公式求得斜率的值，用點(diǎn)斜式求直線的方程．當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=2，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，從而得出結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí)，CP和直線l垂直，k_CP=2，故直線l的斜率為-$\frac{1}{2}$，
用點(diǎn)斜式求得直線l的方程為 y-2=-$\frac{1}{2}$（x-2），即 x+2y-6=0．
（2）由于圓的半徑為$\sqrt{6}$，當(dāng)AB長為2$\sqrt{5}$時(shí)，圓心到直線l的距離為1
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y-2=k（x-2），
整理得kx-y+（2-2k）=0，圓心到直線l的距離為d=$\frac{|k-0+2-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
解得k=$\frac{3}{4}$，代入整理得3x-4y+2=0．  （8分）
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=2，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．
∴直線l的方程為3x-4y+2=0，或x=2．        （10分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式、弦長公式的應(yīng)用，利用點(diǎn)斜式求直線的方程，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．