Question

過拋物線x²=4y的焦點的直線交拋物線于A、B兩點，拋物線分別在A、B兩點處的切線交于Q點，則點Q的縱坐標是________．

Answer 1

-1
分析：先求出拋物線x²=4y的焦點坐標，得過拋物線x²=4y的焦點的直線方程，將所得方程與拋物線x²=4y聯(lián)解，消去y得：x²-4kx-4=0，根據(jù)韋達定理得x₁x₂=-4．再用函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的方法，得拋物線過A點的切線方程為y-y₁=x₁（x-x₁），化簡得y=x₁x-x₁²，同理得到在點B處切線方程為y=x₂x-x₂²，兩方程消去x，得兩切線交點Q縱坐標滿足y_Q=，可得點Q的縱坐標是-1．
解答：∵拋物線x²=4y的焦點為F（0，1）
∴設(shè)過拋物線x²=4y的焦點的直線為y=kx+1．
設(shè)直線與拋物線的交點分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由，消去y得：x²-4kx-4=0，根據(jù)韋達定理，得x₁x₂=-4，
拋物線x²=4y，即二次函數(shù)y=x²，對函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，得y'=x，
所以拋物線在點A處的切線斜率為k₁=x₁，
可得切線方程為y-y₁=x₁（x-x₁），化簡得y=x₁x-x₁²，
同理，得到拋物線在點B處切線方程為y=x₂x-x₂²，兩方程消去x，
得兩切線交點Q縱坐標滿足y_Q=
∵x₁x₂=-4，
∴y_Q=-1，即點Q的縱坐標是-1．
故答案為：-1
點評：本題給出拋物線過焦點的弦，分別在兩個端點處的切線交于點Q，求Q點的縱坐標，考查了拋物線的基本概念和直線與拋物線的位置關(guān)系等知識點，屬于中檔題．