Question

【題目】已知橢圓的離心率，且經(jīng)過點(diǎn)，，，，為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)（如圖），直線過右頂點(diǎn)且垂直于軸．

（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）為上一點(diǎn)（軸上方），直線，分別交橢圓于，兩點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）利用橢圓的離心率和經(jīng)過的點(diǎn)，列方程組求解即可．（2）設(shè)P（2，m），m＞0，得直線PC方程與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，推出E的坐標(biāo)， 同理求F點(diǎn)橫坐標(biāo)，由S△PCD＝2S△PEF，轉(zhuǎn)化求解即可．

（1）因的離心率，且經(jīng)過點(diǎn)，

所以

解得，．所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）由（1）知橢圓方程為，所以直線方程為，，．

設(shè)，，則直線的方程為，

聯(lián)立方程組消得，

所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；

又直線的方程為

聯(lián)立方程組消得，

所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

由得，

則有，則，

化簡(jiǎn)得，解得，因?yàn)?/span>，所以，

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．