Question

給出下列命題：
①若函數(shù)f（x）=asinx+cosx的一個對稱中心是（

π

6

，0），則a的值為-

3

；
②函數(shù)f（x）=cos（2x+

π

2

）在區(qū)間[0，

π

2

]上單調遞減；
③已知函數(shù)f（x）=2sin（2x+φ）（-π＜φ＜π），若f（

π

6

）≤f（x）對任意x∈R恒成立，則φ=-

5π

6

；
④函數(shù)f（x）=tan|x|既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)；
⑤函數(shù)f（x）=sin（2x-

π

3

）+1的最小正周期為π．
其中所有正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質,簡易邏輯

分析：①該函數(shù)的對稱中心應在圖象上，故只需將對稱中心坐標代入解析式求出a的值即可；
②原函數(shù)化為y=-sin2x，求出該函數(shù)的單減區(qū)間進行判斷；
③由題意，說明x=

π

6

時，函數(shù)取最小值，據(jù)此求出φ的值；
④y軸前后的圖象在后面不再重復出現(xiàn)，說明該函數(shù)不滿足周期性；
⑤利用公式T=

2π

|ω|

計算后判斷．

解答： 解：對于①，將（

π

6

，0）代入f（x）=asinx+cosx得

a

2

+

3

2

=0，得a=-

3

．故①是真命題；
對于②，利用誘導公式得f（x）=cos（2x+

π

2

）=-sin2x，由-

π

2

+2kπ≤2x≤

π

2

+2kπ，k∈Z得減區(qū)間為-

π

4

+kπ≤x≤

π

4

+kπ，k∈Z，當k=0時，減區(qū)間為[-

π

4

，

π

4

]，增區(qū)間為[

π

4

，

3π

4

]，故②為假命題；
對于③，若f（

π

6

）≤f（x）對任意x∈R恒成立，則x=

π

6

時有最小值，故2×

π

6

+φ=-

π

2

+2kπ，k∈Z，k=0時，φ=-

5π

6

，故③是真命題；
對于④，滿足偶函數(shù)，但不滿足周期函數(shù)，如圖所示：

故④假命題；
對于⑤，由T=

2π

|ω|

=

2π

2

=π，故⑤是真命題．
故答案為：①③⑤．

點評：本題充分考查了三角函數(shù)的圖象和性質有關的基礎知識，要注重聯(lián)系圖象來解決問題．