Question

14．已知曲線E的極坐標(biāo)方程為$ρ=\frac{4tanθ}{cosθ}$，傾斜角為α的直線l過(guò)點(diǎn)P（2，2）．
（1）求E的直角坐標(biāo)方程和直線l的參數(shù)方程；
（2）設(shè)l₁，l₂是過(guò)點(diǎn)P且關(guān)于直線x=2對(duì)稱的兩條直線，l₁與E交于A，B兩點(diǎn)，l₂與E交于C，D兩點(diǎn)．求證：|PA|：|PD|=|PC|：|PB|．

Answer 1

分析 （1）由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出曲線的直角坐標(biāo)方程；由三角函數(shù)的關(guān)系求出直線l的參數(shù)方程即可；
（2）利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式能求出|PA|•|PB|及|PC|•|PD|的值，從而證出結(jié)論．

解答 解：（1）∵E的極坐標(biāo)方程為$ρ=\frac{4tanθ}{cosθ}$，
∴ρ²cos²θ=4ρsinθ，
∴E：x²=4y（x≠0），
∴傾斜角為α的直線l過(guò)點(diǎn)P（2，2），
∴l(xiāng)：$\left\{\begin{array}{l}x=2+tcosα\\ y=2+tsinα\end{array}\right.$（t為參數(shù)）    （5分）
（2）∵l₁，l₂關(guān)于直線x=2對(duì)稱，
∴l(xiāng)₁，l₂的傾斜角互補(bǔ)．設(shè)l₁的傾斜角為α，則l₂的傾斜角為π-α，
把直線l₁：$\left\{\begin{array}{l}x=2+tcosα\\ y=2+tsinα\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入x²=4y并整理得：
t²cos²α+4（cosα-sinα）t-4=0，
根據(jù)韋達(dá)定理，t₁t₂=$-\frac{4}{{{{cos}^2}α}}$，即|PA|×|PB|=$\frac{4}{{{{cos}^2}α}}$．（8分）
同理即|PC|×|PD|=$\frac{4}{{{{cos}^2}（π-α）}}$=$\frac{4}{{{{cos}^2}α}}$．
∴|PA|×|PB|=|PC|×|PD|，
即|PA|：|PD|=|PC|：|PB|．（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的應(yīng)用，考查|PA|•|PB|及直線的傾斜角α的值的求法，是中題，解題時(shí)要注意韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式的合理應(yīng)用．