【題目】已知橢圓的左、右焦點在軸上,中心在坐標(biāo)原點,長軸長為4,短軸長為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)是否存在過的直線,使得直線與橢圓交于,?若存在,請求出直線的方程;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)(2)存在;直線或
【解析】
(1)由長軸和短軸可得,從而得橢圓方程;
(2)當(dāng)直線的斜率不存在時,不滿足條件;假設(shè)存在斜率存在的過點的直線,使得直線與橢圓交于,,設(shè),設(shè)直線的方程為,與橢圓方程聯(lián)立,消元后應(yīng)用韋達(dá)定理得,說明,代入可求得,得直線方程.
解:(1)設(shè)橢圓的方程為,
可得,即,
所以橢圓的方程為;
(2)當(dāng)直線的斜率不存在時,不滿足條件;
假設(shè)存在過點的直線,使得直線與橢圓交于,,
設(shè)直線的方程為,聯(lián)立橢圓的方程得,
設(shè),,
,即,
由,化為,
得,
化為,解得,
所在存在直線或滿足條件.
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【題目】一個小球放入一長方形容器內(nèi),且與有公共頂點的三個面相接觸,若小球上一點到這三個面的距離分別為4、5、5,則該小球的半徑是_____.
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【題目】如圖,四棱錐中,底面為矩形, 面, 為的中點。
(1)證明: 平面;
(2)設(shè), ,三棱錐的體積 ,求A到平面PBC的距離。
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【題目】在2018、2019每高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷中,第22題考查坐標(biāo)系和參數(shù)方程,第23題考查不等式選講.2018年髙考結(jié)束后,某校經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn):選擇第22題的考生較多并且得分率也較高.為研究2019年選做題得分情況,該校高三質(zhì)量檢測的命題完全采用2019年高考選做題模式,在測試結(jié)束后,該校數(shù)學(xué)教師對全校高三學(xué)生的選做題得分進(jìn)行抽樣統(tǒng)計,得到兩題得分的統(tǒng)計表如下(已知每名學(xué)生只選做—道題):
第22題的得分統(tǒng)計表
得分 | 0 | 3 | 5 | 8 | 10 |
理科人數(shù) | 50 | 50 | 75 | 125 | 200 |
文科人數(shù) | 25 | 25 | 125 | 0 | 25 |
第23題的得分統(tǒng)計表
得分 | 0 | 3 | 5 | 8 | 10 |
理科人數(shù) | 30 | 52 | 58 | 60 | 200 |
文科人數(shù) | 5 | 10 | 10 | 5 | 70 |
(1)完成如下2×2列聯(lián)表,并判斷能否有99%的把握認(rèn)為“選做題的選擇”與“文、理科的科類”有關(guān);
選做22題 | 選做23題 | 總計 | |
理科人數(shù) | |||
文科人數(shù) | |||
總計 |
(2)若以全體高三學(xué)生選題的平均得分作為決策依據(jù),如果你是考生,根據(jù)上面統(tǒng)計數(shù)據(jù),你會選做哪道題,并說明理由.
附:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【題目】已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點O,兩個焦點分別為A(﹣1,0),B(1,0),一個頂點為H(2,0).
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)對于x軸上的點P(t,0),橢圓E上存在點M,使得MP⊥MH,求實數(shù)t的取值范圍.
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【題目】阿波羅尼斯(約公元前年)證明過這樣一個命題:平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)的點的軌跡是圓,后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.若平面內(nèi)兩定點、間的距離為,動點滿足,則的最小值為( )
A. B. C. D.
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【題目】已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖1和圖2所示,為了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因,用分層抽樣的方法抽取2%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別是( )
A.100,10B.100,20C.200,10D.200,20
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【題目】隨著移動互聯(lián)網(wǎng)的快速發(fā)展,基于互聯(lián)網(wǎng)的共享單車應(yīng)運而生.某市場研究人員為了了解共享單車運營公司的經(jīng)營狀況,對該公司最近六個月(2017年5月到2017年10月)內(nèi)在西安市的市場占有率進(jìn)行了統(tǒng)計,并繪制了相應(yīng)的折線圖.
(1)由拆線圖可以看出,可用線性回歸模型擬合月度市場占有率與月份代碼之間的關(guān)系.求關(guān)于的線性回歸方程;
(2)公司對員工承諾如果公司的共享單車在2017年年底(12月底)能達(dá)到西安市場占有率的,員工每人都可以獲得年終獎,依據(jù)上面計算得到回歸方程估計員工是否能得到年終獎.
(參考公式:回歸直線方程為,其中)
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【題目】如圖,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,側(cè)棱AA1⊥底面ABCD,AB∥DC,
.
(Ⅰ)求證:CD⊥平面ADD1A1;
(Ⅱ)若直線AA1與平面AB1C所成角的正弦值為,求k的值.
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