Question

已知函數(shù)f(x)=log4(4x-1)
（1）判斷f（x）的單調(diào)性，說明理由．
（2）解方程f（2x）=f^-1（x）．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，或復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法，可得結(jié)論；
（2）求出f^-1（x），可得方程，解方程，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）4^x-1＞0，所以x＞0，所以定義域是（0，+∞），f（x）在（0，+∞）上單調(diào)增．
證法一：設(shè)0＜x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=log4(4x1-1)-log4(4x2-1)=log4

4x1-1

4x2-1

又∵0＜x₁＜x₂，∴1＜4x1＜4x2，0＜4x1-1＜4x2-1
∴

4x1-1

4x2-1

＜1，即log4

4x1-1

4x2-1

＜0
∴f（x₁）＜f（x₂），f（x）在（0，+∞）上單調(diào)增．…5分
證法二：∵y=log₄x在（0，+∞）上都是增函數(shù)，…2分
y=4^x-1在（0，+∞）上是增函數(shù)且y=4^x-1＞0…4分
∴f(x)=log4(4x-1)在（0，+∞）上也是增函數(shù)． …5分
（2）f-1(x)=log4(4x+1)，
∴f（2x）=f^-1（x），即0＜4^2x-1=4^x+14^2x-4^x-2=0，解得4^x=-1（舍去）或4^x=2，
∴x=log42=

1

2

…9分
經(jīng)檢驗(yàn)，x=

1

2

是方程的根． …10分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查反函數(shù)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．