Question

如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為.一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為和.

（Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)直線、的斜率分別為、，證明；

（Ⅲ）是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

 

 

Answer 1

【答案】

Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為c，由題意知： ，2a+2c=4(+1)

所以a=2，c=2，又=，因此b=2。

故 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

由題意設(shè)等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)榈容S雙曲線的頂點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)。

所以m=2，因此 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為      ……………4分

（Ⅱ）設(shè)A（，），B（），P（），

則=，。

因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線上，所以。

因此，

即            ……………………8分

（Ⅲ）由于的方程為，將其代入橢圓方程得

由韋達(dá)定理得

同理可得.

則  ，又  ，所以  .

故 

因此  存在，使恒成立.

【解析】略