Question

9．定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函數(shù)f（x），如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列{a_n}，{f（a_n）}仍是等比數(shù)列，則稱f（x）為“保等比數(shù)列函數(shù)”．現(xiàn)有定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函數(shù)：（1）f（x）=x²；（2）f（x）=x²+1；$（3）f（x）=\sqrt{|x|}$；（4）f（x）=ln|x|．則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”f（x）的序號(hào)為（　　）

• A． （1）（2）
• B． （3）（4）
• C． （1）（3）
• D． （2）（4）

Answer 1

分析 根據(jù)新定義“保比等比數(shù)列”，結(jié)合等比數(shù)列中項(xiàng)的定義a_n•a_n+2=a_n+1²，逐一判斷四個(gè)函數(shù)，即可得到結(jié)論．

解答 解：根據(jù)題意，由等比數(shù)列性質(zhì)知a_n•a_n+2=a_n+1²，
（1）、f（x）=x²，f（a_n）f（a_n+2）=a_n²a_n+2²=（a_n+1²）²=f²（a_n+1），故（1）是“保等比數(shù)列函數(shù)”；
（2）、f（x）=x²+1，f（a_n）f（a_n+2）≠f²（a_n+1），故（2）不是“保等比數(shù)列函數(shù)”；
（3）、f（x）=$\sqrt{|x|}$，f（a_n）f（a_n+2）=$\sqrt{|{a}_{n}||{a}_{n+2}|}$=（$\sqrt{|{a}_{n+1}|}$）²=f²（a_n+1），故（3）是“保等比數(shù)列函數(shù)”
（4）、f（x）=ln|x|，則f（a_n）f（a_n+2）=ln（|a_n|）•ln（|a_n+2|）≠ln（|a_n+1|）²=f²（|a_n+1|），故（4）不是“保等比數(shù)列函數(shù)”；
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列判定，涉及函數(shù)值的計(jì)算，理解“保等比數(shù)列函數(shù)”的定義是解題的關(guān)鍵．