Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）為偶函數(shù)，且函數(shù)y=f（x）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為

π

2

（1）求f（x）；
（2）求f（x）的最小值及取最小值時x的取值集合．
（3）tanα=2，求f（α）．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的單調性,正弦函數(shù)的對稱性

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（1）由已知中函數(shù)f（x）=

3

sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）為偶函數(shù)，且函數(shù)y=f（x）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為

π

2

，求出A，ω和φ的值，可得f（x）的解析式；
（2）令2x=π+2kπ，k∈Z，由A=2，可得f（x）的最小值及取最小值時x的取值集合．
（3）tanα=2，利用萬能公式，可求出f（α）的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

3

sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ-

π

6

），
∵函數(shù)y=f（x）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為

π

2

，
∴T=π，
又∵ω＞0，
∴ω=2，
又∵函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，
∴φ-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，
即φ=kπ+

2π

3

，k∈Z，
又∵0＜φ＜π，
∴φ=

2π

3

，
∴f（x）=2sin（2x+

π

2

）=2cos2x；
（2）由（1）得，當2x=π+2kπ，k∈Z，
即x=

π

2

+kπ，k∈Z時，
f（x）取最小值為-2，
此時x的取值集合為{x|x=

π

2

+kπ，k∈Z}；
（3）∵tanα=2，
∴f（α）=2cos2α=2×

1-tan2α

1+tan2α

=-

6

5

．

點評：本題考查的知識點是兩角和與差的正弦函數(shù)，誘導公式，正弦函數(shù)的單調性，對稱性，最值，萬能公式等，是三角函數(shù)的綜合應用，難度中檔．