Question

7．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F₁（-$\sqrt{3}$，0），且右頂點(diǎn)為D（2，0）．設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，$\frac{1}{2}$）
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段PA的中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F₁（-$\sqrt{3}$，0），且右頂點(diǎn)為D（2，0）．求出橢圓的幾何量a，b，即可得到橢圓方程．
（2）設(shè)P（x₀，y₀），M（x，y），點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，$\frac{1}{2}$），線段PA的中點(diǎn)M，轉(zhuǎn)化求解代入橢圓方程即可得到M的軌跡方程．

解答 解：（1）∵a=2，c=$\sqrt{3}$，∴b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1．∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）設(shè)P（x₀，y₀），M（x，y），點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，$\frac{1}{2}$），線段PA的中點(diǎn)M，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{x}_{0}+1}{2}}\\{y=\frac{{y}_{0}+\frac{1}{2}}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=2x-1}\\{{y}_{0}=2y-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，又∵$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+{{y}_{0}}^{2}=1$，
∴$\frac{（2{x-1）}^{2}}{4}+（2y-\frac{1}{2}）^{2}=1$，即為中點(diǎn)M的軌跡方程．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力．