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13.已知函數(shù)f(x)=a+lnxx在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與x軸平行.
(1)求實(shí)數(shù)a的值及f(x)的極值;
(2)是否存在區(qū)間tt+23(t>0),使得f(x)在此區(qū)間上存在極值點(diǎn)和零點(diǎn)?若存在,求出實(shí)數(shù)t的取值范圍,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)如果對(duì)任意x1、x2∈[e2,+∞],有|f(x1)-f(x2)|≥k|1x11x2|,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

分析 (1)由函數(shù)f(x)在(1,f(1))處的切線與x軸平行求得a的值,然后利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)求出函數(shù)的單調(diào)期間,則函數(shù)的極值可求;
(2)假設(shè)存在區(qū)間(t,t+23)(t>0),使函數(shù)f(x)在此區(qū)間上存在極值和零點(diǎn),則得到關(guān)于t的不等式組,解此不等式組求得t的取值范圍;
(3)由(I)的結(jié)論知,f(x)在[e2,+∞)上單調(diào)遞減,然后構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-kx,由函數(shù)在[e2,+∞)上單調(diào)遞減,則其導(dǎo)函數(shù)在在[e2,+∞)上恒成立,由此求得實(shí)數(shù)k的取值范圍.

解答 解:(1)由f(x)=a+lnxx,得f′(x)=1alnxx2,
∵f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與x軸平行,
∴f′(1)=1aln112=0,∴a=1,
∴f(x)=1+lnxx,x>0,f′(x)=-lnxx2,
當(dāng)0<x<1時(shí),f′(x)>0,當(dāng)x>1時(shí),f′(x)<0.
∴f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)單調(diào)遞減,
故f(x)在x=1處取得極大值1,無(wú)極小值;
(2)∵x>1時(shí),f(x)=1+lnxx>0,
當(dāng)x→0時(shí),y→-∞,
由(I)得f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,
∴由零點(diǎn)存在原理,f(x)在區(qū)間(0,1)存在唯一零點(diǎn),函數(shù)f(x)的圖象如圖所示:

∵函數(shù)f(x)在區(qū)間(t,t+23),t>0上存在極值和零點(diǎn).
{0t1t+23ft=1+lntt0,解得13<t<1e
∴存在符合條件的區(qū)間,實(shí)數(shù)t的取值范圍為(131e);
(3)由(1)的結(jié)論知,f(x)在[e2,+∞)上單調(diào)遞減,
不妨設(shè)x1>x2≥e2,則|f(x1)-f(x2)|≥k|1x1-1x2|,
則f(x2)-f(x1)≥k(1x2-1x1),
∴f(x2)-kx2≥f(x1)-kx1
∴函數(shù)F(x)=f(x)-kx在[e2,+∞)上單調(diào)遞減,
又F(x)=f(x)-kx=1+lnxx-kx,
∴F′(x)=klnxx2≤0在[e2,+∞)上恒成立,
∴k≤lnx在[e2,+∞)上恒成立.
在[e2,+∞)上(lnx)min=lne2=2,
∴k≤2.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程,考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,訓(xùn)練了函數(shù)零點(diǎn)的判定方法,訓(xùn)練了利用恒成立問(wèn)題求參數(shù)的范圍,綜合考查了學(xué)生的邏輯思維能力和計(jì)算能力,是壓軸題.

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