分析 (1)由函數(shù)f(x)在(1,f(1))處的切線與x軸平行求得a的值,然后利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的符號求出函數(shù)的單調(diào)期間,則函數(shù)的極值可求;
(2)假設(shè)存在區(qū)間(t,t+23)(t>0),使函數(shù)f(x)在此區(qū)間上存在極值和零點,則得到關(guān)于t的不等式組,解此不等式組求得t的取值范圍;
(3)由(I)的結(jié)論知,f(x)在[e2,+∞)上單調(diào)遞減,然后構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-kx,由函數(shù)在[e2,+∞)上單調(diào)遞減,則其導(dǎo)函數(shù)在在[e2,+∞)上恒成立,由此求得實數(shù)k的取值范圍.
解答 解:(1)由f(x)=a+lnxx,得f′(x)=1−a−lnxx2,
∵f(x)在點(1,f(1))處的切線與x軸平行,
∴f′(1)=1−a−ln112=0,∴a=1,
∴f(x)=1+lnxx,x>0,f′(x)=-lnxx2,
當0<x<1時,f′(x)>0,當x>1時,f′(x)<0.
∴f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)單調(diào)遞減,
故f(x)在x=1處取得極大值1,無極小值;
(2)∵x>1時,f(x)=1+lnxx>0,
當x→0時,y→-∞,
由(I)得f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,
∴由零點存在原理,f(x)在區(qū)間(0,1)存在唯一零點,函數(shù)f(x)的圖象如圖所示:
∵函數(shù)f(x)在區(qū)間(t,t+23),t>0上存在極值和零點.
∴{0<t<1<t+23f(t)=1+lntt<0,解得13<t<1e
∴存在符合條件的區(qū)間,實數(shù)t的取值范圍為(13,1e);
(3)由(1)的結(jié)論知,f(x)在[e2,+∞)上單調(diào)遞減,
不妨設(shè)x1>x2≥e2,則|f(x1)-f(x2)|≥k|1x1-1x2|,
則f(x2)-f(x1)≥k(1x2-1x1),
∴f(x2)-kx2≥f(x1)-kx1,
∴函數(shù)F(x)=f(x)-kx在[e2,+∞)上單調(diào)遞減,
又F(x)=f(x)-kx=1+lnxx-kx,
∴F′(x)=k−lnxx2≤0在[e2,+∞)上恒成立,
∴k≤lnx在[e2,+∞)上恒成立.
在[e2,+∞)上(lnx)min=lne2=2,
∴k≤2.
點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程,考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,訓練了函數(shù)零點的判定方法,訓練了利用恒成立問題求參數(shù)的范圍,綜合考查了學生的邏輯思維能力和計算能力,是壓軸題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 28 | B. | 32 | C. | 18 | D. | 26 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 0 | B. | 1 | C. | -1 | D. | 2 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | -20 | B. | 20 | C. | -160 | D. | 160 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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