Question

5．如圖4，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，延長BC至D，使C為BD的中點．
（1）求證：平面AC₁D⊥平面AA₁B；
（2）若AC=2，AA₁=4，求二面角C₁-AD-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導出AB⊥AD，AA₁⊥AD，從而AD⊥平面AA₁B，由此能證明平面AC₁D⊥平面AA₁B．
（2）以A為原點，AD為x軸，AB為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角C₁-AD-B的余弦值．

解答 解：（1）證明：由已知△ABC是正三角形，∠BAC=∠BCA=60°，
又∵AC=BC=CD，∴∠CAD=∠CDA=30°，…（1分）
∴∠BAD=30°+60°=90°，AB⊥AD，…（2分）
又∵AA₁⊥底面ABD，∴AA₁⊥AD，…（3分）
∵AB∩AA₁=A，∴AD⊥平面AA₁B，…（4分）
又∵AD?平面AC₁D，∴平面AC₁D⊥平面AA₁B．…（5分）
解：（2）∵AA₁⊥底面ABD，AB⊥AD，
∴如圖，以A為原點，AD為x軸，AB為y軸，AA₁為z軸，
建立空間直角坐標系…（6分）
A（0，0，0），D（2$\sqrt{3}$，0，0），C₁（$\sqrt{3}$，1，4），…（7分）
$\overrightarrow{AD}$=（2$\sqrt{3}$，0，0），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（$\sqrt{3}，1，4$），…（8分）
設平面ADC₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=2\sqrt{3}x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{C}_{1}}=\sqrt{3}x+y+4z=0}\end{array}\right.$，取z=1，則$\overrightarrow{n}$=（0，-4，1），…（10分）
取平面ADB的法向量為$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
則cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{1}{\sqrt{17}}$=$\frac{\sqrt{17}}{17}$，
由圖知二面角C₁-AD-B為銳角，
∴二面角C₁-AD-B的余弦值為$\frac{\sqrt{17}}{17}$．…（12分）

點評 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．