Question

（選做題）已知函數f（x）=|2x-1|+2，g（x）=-|x+2|+3．
（Ⅰ）解不等式：g（x）≥-2；
（Ⅱ）當x∈R時，f（x）-g（x）≥m+2恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由g（x）=-|x+2|+3，g（x）≥-2，知|x+2|≤5，由此能求出不等式g（x）≥-2的解集．
（Ⅱ）由f（x）=|2x-1|+2，g（x）=-|x+2|+3，知f（x）-g（x）=|2x-1|+|x+2|-1，設h（x）=|2x-1|+|x+2|-1，則．由當x∈R時，f（x）-g（x）≥m+2恒成立，知，由此能求出實數m的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）∵g（x）=-|x+2|+3，g（x）≥-2，
∴|x+2|≤5，
∴-5≤x+2≤5，
解得-7≤x≤3，
∴不等式g（x）≥-2的解集為{x|-7≤x≤3}．
（Ⅱ）∵f（x）=|2x-1|+2，g（x）=-|x+2|+3，
∴f（x）-g（x）=|2x-1|+|x+2|-1，
設h（x）=|2x-1|+|x+2|-1，
則h（x）=，
∴．
∵當x∈R時，f（x）-g（x）≥m+2恒成立，
∴，解得，
所以，實數m的取值范圍是（-∞，-]．
點評：本題考查不等式的解法和求實數的取值范圍，具體涉及到含絕對值不等式的性質、函數的恒成立問題，綜合性強，難度大，有一定的探索性，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．