Question

9．在△ABC中，2AB=BC，P₀是線段AB上一個定點，且$\overrightarrow{{P}_{0}B}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$；P是直線AB上的一個動點，當(dāng)P在直線AB上運動時，不等式$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$≥$\overrightarrow{{P}_{0}B}$•$\overrightarrow{{P}_{0}C}$恒成立，則cos∠BAC=（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 設(shè)$\overrightarrow{PB}$=t$\overrightarrow{AB}$，t∈R，由向量共線定理和向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)，化簡可得t²-2tcosB+$\frac{1}{2}$cosB-$\frac{1}{16}$≥0恒成立，運用判別式不小于0，可得cosB=$\frac{1}{4}$，由余弦定理可得AC=2AB，由等腰三角形的性質(zhì)，可得所求值．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{PB}$=t$\overrightarrow{AB}$，t∈R，
由$\overrightarrow{{P}_{0}B}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$≥$\overrightarrow{{P}_{0}B}$•$\overrightarrow{{P}_{0}C}$恒成立，
可得t$\overrightarrow{AB}$•（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{BC}$）≥$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$•（$\overrightarrow{{P}_{0}B}$+$\overrightarrow{BC}$），
即有t²$\overrightarrow{AB}$²+t$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$≥$\frac{1}{16}$$\overrightarrow{AB}$²+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$，
即為t²$\overrightarrow{AB}$²-2t$\overrightarrow{AB}$²cosB≥$\frac{1}{16}$$\overrightarrow{AB}$²-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$²cosB，
即有t²-2tcosB+$\frac{1}{2}$cosB-$\frac{1}{16}$≥0恒成立，
可得判別式4cos²B-4（$\frac{1}{2}$cosB-$\frac{1}{16}$）≤0，
化為（cosB-$\frac{1}{4}$）²≤0，
而（cosB-$\frac{1}{4}$）²≥0，
則cosB=$\frac{1}{4}$，
由余弦定理可得AC²=AB²+BC²-2AB•BCcosB
=AB²+4AB²-2AB•2AB•$\frac{1}{4}$=4AB²，
即有AC=BC=2AB，
即cos∠BAC=cosB=$\frac{1}{4}$．
故選：D．

點評 本題考查向量不等式恒成立問題的解法，注意運用向量共線定理和數(shù)量積的定義及性質(zhì)，考查二次不等式恒成立問題解法，考查運算能力，屬于中檔題．