Question

如圖，AB為⊙O的直徑，過點B作⊙O的切線BC，OC交⊙O于點E，AE的延長線交BC于點D．
（1）求證：CE²=CD•CB；
（2）若AB=BC=2，求CE和CD的長．

Answer 1

考點：與圓有關(guān)的比例線段

專題：選作題,立體幾何

分析：（1）要證CE²=CD•CB，結(jié)合題意，只需證明△CED∽△CBE即可，故連接BE，利用弦切角的知識即可得證；
（2）在Rt三△OBC中，利用勾股定理即可得出CE的長，由（1）知，CE²=CD•CB，代入CE即可得出CD的長．

解答： （1）證明：連接BE．
∵BC為⊙O的切線∴∠ABC=90°
∵AB為⊙O的直徑∴∠AEB=90°                   …（2分）
∴∠DBE+∠OBE=90°，∠AEO+∠OEB=90°
∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB∴∠DBE=∠AEO        …（4分）
∵∠AEO=∠CED∴∠CED=∠CBE，
∵∠C=∠C∴△CED∽△CBE，
∴

CE

CB

=

CD

CE

，∴CE²=CD•CB       …（6分）
（2）解：∵OB=1，BC=2，∴OC=

5

，∴CE=OC-OE=

5

-1         …（8分）
由（1）CE²=CD•CB得：（

5

-1）²=2CD，∴CD=3-

5

     …（10分）

點評：本題主要考查了切線的性質(zhì)及其應(yīng)用，同時考查了相似三角形的判定和解直角三角形等知識點，運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．