在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，0），向量
e
=（0，1），點(diǎn)B為直線x=-1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C滿足2
OC
=
OA
+
OB
，點(diǎn)M滿足
BM
•e=0，
CM
•
AB
=0．
（1）試求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（2）試證直線CM為軌跡E的切線．
分析：（1）設(shè)B（-1，m），C（x1，y1），利用2
OC
=
OA
+
OB
得到關(guān)系式，求出x1=0，y1=
m
2
，設(shè)M（x，y），
BM
•e=0，
CM
•
AB
=0．得到軌跡方程．
（2）求出MC的方程，與拋物線方程聯(lián)立，求出解得情況，判斷是否是切線即可．
解答：（1）解：設(shè)B（-1，m），C（x1，y1），
由2
OC
=
OA
+
OB
，得：2（x1，y1）=（1，0）+（-1，m），解得x1=0，y1=
m
2
（2分）
設(shè)M（x，y），由
BM
•e=0
CM
•
AB
=0
，得
(x+1，y-m)•(0，1)=0
(x，y-
m
2
)•(-2，m)=0
⇒
x=
m2
4
y=m
，（4分）
消去m得E的軌跡方程y2=4x（6分）
（2）解：由題設(shè)知C為AB中點(diǎn)，MC⊥AB，故MC為AB的中垂線，MB∥x軸，
設(shè)M（
y0
4
，y0），則B（-1，y0），C（0，
y0
2
），
當(dāng)y0≠0時(shí)，kMC=
2
y0
，MC的方程y=
2
y0
x+
y0
2
（8分）
將MC方程與y2=4x聯(lián)立消x，整理得：y2-2y0y+y02=0，
它有唯一解y=y0，即MC與y2=4x只有一個(gè)公共點(diǎn)，
又kMC≠0，所以MC為y2=4x的切線（10分）
當(dāng)y0=0時(shí)，顯然MC方程x=0為軌跡E的切線
綜上知，MC為軌跡E的切線．
點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，以向量為載體考查平面解析幾何軌跡方程以及切線的問題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，考查分析問題解決問題的能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為：pcos(θ-
π3
)=1，M，N分別為曲線C與x軸，y軸的交點(diǎn)，則MN的中點(diǎn)P在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，A（3，0）、B（0，3）、C（cosθ，sinθ），θ∈(
π
2
，
3π
2
)，且|
AC
|=|
BC
|．
（1）求角θ的值；
（2）設(shè)α＞0，0＜β＜
π
2
，且α+β=
2
3
θ，求y=2-sin2α-cos2β的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點(diǎn)（x，y）為整點(diǎn)，下列命題中正確的是
 
（寫出所有正確命題的編號(hào)）．
①存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點(diǎn)
②如果k與b都是無理數(shù)，則直線y=kx+b不經(jīng)過任何整點(diǎn)
③直線l經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)l經(jīng)過兩個(gè)不同的整點(diǎn)
④直線y=kx+b經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)的充分必要條件是：k與b都是有理數(shù)
⑤存在恰經(jīng)過一個(gè)整點(diǎn)的直線．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，下列函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)（1，0）為圓心，r為半徑作圓，依次與拋物線y2=x交于A、B、C、D四點(diǎn)，若AC與BD的交點(diǎn)F恰好為拋物線的焦點(diǎn)，則r=
 
．

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