Question

5．已知曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，曲線C₂的極坐標方程為ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}$），以極點為坐標原點，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標系．
（1）求曲線C₂的直角坐標方程；
（2）求曲線C₂的動點M到曲線C₁的距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）曲線C₂的極坐標方程為ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}$），展開可得：ρ²=2$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρcosθ+ρsinθ），利用ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得直角坐標方程．
（2）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，消去參數(shù)t可得普通方程．利用點到直線的距離公式可得圓心C₂到直線C₁的距離d．即可得出曲線C₂的動點M到曲線C₁的距離的最大值=d+r．

解答 解：（1）曲線C₂的極坐標方程為ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}$），
展開可得：ρ²=2$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρcosθ+ρsinθ），可得直角坐標方程：x²+y²=2x+2y，
配方為：（x-1）²+（y-1）²=2，可得圓心C₂（1，1），半徑r=$\sqrt{2}$．
（2）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，消去參數(shù)t可得普通方程：x+$\sqrt{3}$y+2=0．
∴圓心C₂到直線C₁的距離d=$\frac{|1+\sqrt{3}+2|}{2}$=$\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴曲線C₂的動點M到曲線C₁的距離的最大值=d+r=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$+$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標方程化為直角坐標方程、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．