Question

9．已知平面向量$\overrightarrow{m}$=（a，sinx），$\overrightarrow{n}$=（b，cosx），若函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$的最小值為-$\frac{7}{2}$，求：
（1）函數(shù)g（x）=2^3+f（x）的遞減區(qū)間；
（2）直線y=-$\frac{8}{3}$與函數(shù)y=f（x）在閉區(qū)間[0，π]上的圖象的所有交點坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由向量的知識可得f（x）=ab+$\frac{1}{2}$sin2x，由三角函數(shù)最值整體可得ab=-3，進而可得的g（x）=${2}^{\frac{1}{2}sin2x}$，由復(fù)合函數(shù)和三角函數(shù)單調(diào)性可得；
（2）令-3+$\frac{1}{2}$sin2x=-$\frac{8}{3}$可得sin2x=$\frac{2}{3}$，結(jié)合三角函數(shù)圖象由反三角函數(shù)可得．

解答 解：（1）∵平面向量$\overrightarrow{m}$=（a，sinx），$\overrightarrow{n}$=（b，cosx），
∴函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$=ab+sinxcosx=ab+$\frac{1}{2}$sin2x，
∵f（x）的最小值為-$\frac{7}{2}$，∴ab-$\frac{1}{2}$=-$\frac{7}{2}$，即ab=-3，
∴f（x）=-3+$\frac{1}{2}$sin2x，g（x）=2^3+f（x）=${2}^{\frac{1}{2}sin2x}$，
∴函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間即為y=sin2x的單調(diào)遞減區(qū)間，
解2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x≤2kπ+$\frac{3π}{2}$可得kπ+$\frac{π}{4}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{4}$，
∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{3π}{4}$]，k∈Z；
（2）令-3+$\frac{1}{2}$sin2x=-$\frac{8}{3}$可得sin2x=$\frac{2}{3}$，
∵[0，π]恰為函數(shù)y=sin2x的一個周期，
∴x=$\frac{1}{2}$arcsin$\frac{2}{3}$，或x=$\frac{π}{2}$-$\frac{1}{2}$arcsin$\frac{2}{3}$，
∴交點坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$arcsin$\frac{2}{3}$，-$\frac{8}{3}$），（$\frac{π}{2}$-$\frac{1}{2}$arcsin$\frac{2}{3}$，-$\frac{8}{3}$）

點評 本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和三角函數(shù)單調(diào)性以及向量的知識，屬中檔題．