已知函數(shù)f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1處有極小值-1,
(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間與單調(diào)遞減區(qū)間?
(3)求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[-2,+2]上的最大值與最小值?
解:(1)∵f′(x)=3x
2-6ax+2b,函數(shù)f(x)=x
3-3ax
2+2bx在x=1處有極小值-1,
∴f(1)=-1,f′(1)=0
∴1-3a+2b=-1,3-6a+2b=0
解得a=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8.png)
,b=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
∴f(x)=x
3-x
2-x
(2)∵f′(x)=3x
2-2x-1
∴由f′(x)=3x
2-2x-1>0得x∈
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/58206.png)
由f′(x)=3x
2-2x-1<0得x∈
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/16858.png)
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/58207.png)
,減區(qū)間為:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/16858.png)
(3)由(2)可得函數(shù)f(x)在[-2,-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8.png)
)上是增函數(shù),在[-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8.png)
,1)上是減函數(shù),在[1,2]上是增函數(shù)
且f(-2)=-10,f(-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8.png)
)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/22188.png)
,f(1)=-1,f(2)=2
∴函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[-2,+2]上的最大值f(2)=2
最小值為f(-2)=-10
分析:(1)已知函數(shù)f(x)=x
3-3ax
2+2bx在x=1處有極小值-1,即f(1)=-1,f′(1)=0,所以先求導(dǎo)函數(shù),再代入列方程組,即可解得a、b的值
(2)分別解不等式f′(x)>0和f′(x)<0,即可得函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間與單調(diào)遞減區(qū)間
(3)由(2)可得函數(shù)f(x)在[-2,2]上的單調(diào)性,從而求出函數(shù)在[-2,2]上的極大值和極小值,最后比較端點(diǎn)值f(-2),f(2)與極值的大小確定函數(shù)在[-2,2]上的最大值與最小值
點(diǎn)評(píng):本題考察了導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)極值中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的方法