Question

6．已知函數(shù)f（x）=2^x+a•2^-x，其中常數(shù)a≠0．
（1）當a=1時，f（x）的最小值；
（2）當a=256時，是否存在實數(shù)k∈（1，2]，使得不等式f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）對任意x∈R恒成立？若存在，求出所有滿足條件的k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式a+b≥2$\sqrt{ab}$（a＞0，b＞0）直接可求得最小值；
（2）復合函數(shù)的單調性知，f（x）在（0，4）上是減函數(shù)，要使不等式f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）對任意x∈R恒成立，只要k-cosx≤k²-cos²x，即cos²x-cosx≤k²-k  ①；設g（x）=cos²x-cosx，則g（x）的最大值為2．

解答 解：（1）當a=1時，f（x）=2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$≥2$\sqrt{{2}^{x}•\frac{1}{{2}^{x}}}$=2，
當且僅當${2}^{x}=\frac{1}{{2}^{x}}$，即x=0時取等號；
（2）當k∈（1，2]時，0＜k-cosx≤3，0＜k²-cos²x≤4，
當a=256時，f（x）=2^x+256•2^-x，
由復合函數(shù)的單調性知，f（x）在（0，4）上是減函數(shù)，要使不等式f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）對任意x∈R恒成立，只要k-cosx≤k²-cos²x，即cos²x-cosx≤k²-k  ①
設g（x）=cos²x-cosx，則g（x）的最大值為2．
要使得①式成立，必須k²-k≥2，即k≥2或k≤-1
∴在區(qū)間（1，2]上存在k=2，使得原不等式對任意的x∈R恒成立．

點評 本題主要考查了基本不等式基礎，函數(shù)的單調性綜合應用等知識點，屬中等題．