Question

如圖，已知AM、BN、CP、DQ分別是四面體ABCD的高，且AM、BN相交．求證：CP、DQ相交．

Answer 1

答案：略
解析：

設AM與BN確定的平面為a．∵AA⊥平面BCD，∴AM⊥CD．同理BN⊥CD，∴CD⊥平面a又AB平面a，∵AB⊥CD．∵CP⊥平面ABD，∴CP⊥AB．∴AB⊥平面CDP(如圖)．又AB平面ABC，∴平面ABC⊥平面CDP．∵DQ⊥平面ABC，根據(jù)結論：如果兩個平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內(nèi)．∴DQ平面CDP．∵CP、DQ在一個平面內(nèi)且不平行，∴CP與DQ必相交．判定直線在平面內(nèi)，課本(包括例題、習題)中出現(xiàn)的結論有：①若一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，則這條直線上所有點都在這個平面內(nèi)；②過一點與已知直線垂直的直線，都在過這點與已知直線垂直的平面內(nèi)；③過平面外一點與已知平面平行的直線，都在過這點與已知平面平行的平面內(nèi)；④一直線平行于一平面，則過平面內(nèi)一點與已知直線平行的直線都在該平面內(nèi)；⑤兩平面垂直，過第一個平面內(nèi)一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內(nèi)．要證CP、DQ相交，只需證CP、DQ在同一個平面內(nèi)，這個平面應該CD與CP所確定的平面．因此，只需證明DQ在平面CDP中，因為DQ⊥面ABC，因此只需證平面CDP⊥面ABC．