如圖,已知AM、BN、CP、DQ分別是四面體ABCD的高,且AM、BN相交.求證:CP、DQ相交.

答案:略
解析:

AMBN確定的平面為a.∵AA⊥平面BCD,∴AMCD.同理BNCD,∴CD⊥平面aAB平面a,∵ABCD.∵CP⊥平面ABD,∴CPAB.∴AB⊥平面CDP(如圖).又AB平面ABC,∴平面ABC⊥平面CDP.∵DQ⊥平面ABC,根據(jù)結論:如果兩個平面互相垂直,那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內(nèi).∴DQ平面CDP.∵CP、DQ在一個平面內(nèi)且不平行,∴CPDQ必相交.判定直線在平面內(nèi),課本(包括例題、習題)中出現(xiàn)的結論有:①若一條直線上的兩點在一個平面內(nèi),則這條直線上所有點都在這個平面內(nèi);②過一點與已知直線垂直的直線,都在過這點與已知直線垂直的平面內(nèi);③過平面外一點與已知平面平行的直線,都在過這點與已知平面平行的平面內(nèi);④一直線平行于一平面,則過平面內(nèi)一點與已知直線平行的直線都在該平面內(nèi);⑤兩平面垂直,過第一個平面內(nèi)一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內(nèi).要證CP、DQ相交,只需證CP、DQ在同一個平面內(nèi),這個平面應該CDCP所確定的平面.因此,只需證明DQ在平面CDP中,因為DQ⊥面ABC,因此只需證平面CDP⊥面ABC


練習冊系列答案
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如圖,直線l1和l2相交于點M且l1⊥l2,點N∈l1.以A、B為端點的曲線段C上的任一點到l2的距離與到點N的距離相等.若△AMN為銳角三角形,|AM|=
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,|AN|=3,且|BN|=6.
(1)曲線段C是哪類圓錐曲線的一部分?并建立適當?shù)淖鴺讼,求曲線段C所在的圓錐曲線的標準方程;
(2)在(1)所建的坐標系下,已知點P(m,n)在曲線段C上,直線l:mx+ny=1,求直線l被圓x2+y2=1截得的弦長的取值范圍.

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如圖,已知△ABC,在AC上取點N,使AN=AC,在AB上取點M,使AM=AB,在BN的延長線上取點P,使NP=BN,在CM的延長線上取點Q,使MQ=CM,用向量的方法證明P、A、Q三點共線.

 

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