Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+2x+2

x

，x∈[1，3]，若f（x）＞2a對x∈[1，3]恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：先利用基本不等式的性質(zhì)，求出函數(shù)f（x）的最小值，再分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為a＜

1

2

f（x）對x∈[1，3]恒成立，問題得以解決．

解答： 解：∵x∈[1，3]，
∴f（x）=

x2+2x+2

x

=x+

2

x

+2≥2

x• 2 x

+2=2

2

+2，當(dāng)且僅當(dāng)x=

2

時取等號．
∵f（x）＞2a對x∈[1，3]恒成立，
∴a＜

1

2

f（x）對x∈[1，3]恒成立，
∴a＜

1

2

（2

2

+2）=

2

+1，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，

2

+1）．
故答案為：（-∞，

2

+1）．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)恒成立的問題，分離參數(shù)，求出個某函數(shù)最值是常用的方法，還考查了基本不等式的性質(zhì)，關(guān)鍵是不等式成立的條件，屬于中檔題．