Question

某商場(chǎng)統(tǒng)計(jì)了去年各個(gè)季度冰箱的進(jìn)貨資金情況，得到如下數(shù)據(jù)：

季       度	第一季度	第二季度	第三季度	第四季度
進(jìn)貨資金（單位：萬(wàn)元）	42.6	38.3	37.7	41.4

（1）試求該商場(chǎng)去年冰箱的“季擬合進(jìn)貨資金m”的值（m是這樣的一個(gè)量：它與各個(gè)季度進(jìn)貨資金差的平方和最小）；
（2）該商場(chǎng)今年第一個(gè)季度對(duì)冰箱進(jìn)貨時(shí)，計(jì)劃進(jìn)貨資金比去年季擬合進(jìn)貨資金增長(zhǎng)25%．經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，銷(xiāo)售“節(jié)能冰箱”和“普通冰箱”所得的利潤(rùn)P（萬(wàn)元）和Q（萬(wàn)元）與進(jìn)貨資金t（萬(wàn)元）分別近似地滿(mǎn)足公式P=

1

4

t和Q=

20t

t+20

，那么該商場(chǎng)今年第一個(gè)季度應(yīng)如何分配進(jìn)貨資金，才能使銷(xiāo)售冰箱獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？

Answer 1

分析：（1）利用m與各個(gè)季度進(jìn)貨資金差的平方和，結(jié)合配方法，求出最小，即可得到結(jié)論；
（2）求出今年第一季度的進(jìn)貨資金，再構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式，利用換元、基本不等式，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)四個(gè)季度的進(jìn)貨資金分別為a₁，a₂，a₃，a₄，
則M=(m-a1)2+(m-a2)2+(m-a3)2+(m-a4)2=4m²-2（a₁+a₂+a₃+a₄）m+a12+a22+a32+a42 …（3分）
所以當(dāng)m=

a1+a2+a3+a4

4

時(shí)，M最小…（5分）
故所求的季擬合進(jìn)貨資金m=

42.6+38.3+37.7+41.4

4

=40萬(wàn)元…（7分）
（2）因?yàn)榻衲甑谝患径鹊倪M(jìn)貨資金為40×（1+25%）=50萬(wàn)元，設(shè)用于普通冰箱的進(jìn)貨資金為x萬(wàn)元，則用于節(jié)能冰箱的進(jìn)貨資金為（50-x）萬(wàn)元，
從而銷(xiāo)售冰箱獲得的利潤(rùn)為y=P+Q=

1

4

(50-x)+

20x

x+20

（0≤x≤50）…（10分）
令s=x+20（s∈[20，70]，則y=

75

2

-(

s

4

+

400

s

)≤

75

2

-2

s 4 × 400 s

=

35

2

…（12分）
當(dāng)且僅當(dāng)s=40，即x=20時(shí)，y取得最大值為17.5，
所以當(dāng)用于節(jié)能冰箱的進(jìn)貨資金為30萬(wàn)元，用于普通冰箱的進(jìn)貨資金為20萬(wàn)元時(shí)，可使銷(xiāo)售冰箱的利潤(rùn)最大，最大為17.5萬(wàn)元…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．