Question

14．在極坐標系中，設直線l過點$A（\sqrt{3}，\frac{2π}{3}），B（3，\frac{π}{2}）$，且直線l與曲線C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一個公共點，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 求出點A，B的直角坐標，利用點斜式方程得出直線l的直角坐標方程，再求出曲線C的普通方程，求出圓心和半徑，利用d=r構建出a的方程，解出a的值．

解答 解：由直線l過點$A（\sqrt{3}，\frac{2π}{3}），B（3，\frac{π}{2}）$，
可得A，B的直角坐標為A（$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），B（0，3），
直線AB的斜率k=$\frac{\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3}}}{2}$=$\sqrt{3}$，
即有直線l的方程為：y-3=$\sqrt{3}$x，即y=$\sqrt{3}$x+3，
由曲線C：ρ=asinθ（a＞0），
可得曲線C的普通方程為x²+y²-ay=0，
即有圓心C（0，$\frac{a}{2}$），r=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{a}^{2}}$=$\frac{a}{2}$，
直線l與曲線C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一個公共點
即直線和圓相切，可得$\frac{|-\frac{a}{2}+3|}{\sqrt{3+1}}=\frac{a}{2}$，
解得a=2或-6，
由a＞0，可得a=2．

點評 本題考查極坐標方程與直角坐標方程的互化，考查直線與圓的位置關系，主要是相切的條件：d=r，考查運算能力，屬于中檔題．