如圖所示，在直三棱柱ABC- 中，，D為棱的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）設(shè)平面與平面ABD所成的角為，求cos;

（Ⅲ）在棱AB上是否存在一點(diǎn)E，使DE//平面？證明你的結(jié)論.

解證：（Ⅰ）

∵三棱柱ABC-為直三棱柱，∴

∵

平面

∵，則

∵中，∴

∵四邊形為正方形

∴

∵

（Ⅱ）如圖建立空間直角坐標(biāo)系

由（Ⅰ）可知平面的法向量為設(shè)為平面ABD的法向量.

則即

令z=1,則

∴

又平面與平面ABD所成角為銳角，

∴cos=cos

（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn)時(shí)，DE//平面

證明如下：

如圖取的中點(diǎn)F，連EF，F(xiàn)D，DE

∵D，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)；

∴EF//

∵

∴EF//平面

同理可證FD//平面

∵

∴平面EFD//平面

∵DE平面EFD

∴DE//

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AA1=AC=BC=2，D、E、F分別是AB、AA1、CC1的中點(diǎn)，P是CD上的點(diǎn)．
（1）求直線PE與平面ABC所成角的正切值的最大值；
（2）求證：直線PE∥平面A1BF；
（3）求直線PE與平面A1BF的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，∠BAC=90°，AB=BB′=1，直線B′C與平面ABC成30°角．
（1）求證：A′B⊥面AB′C；
（2）求二面角B-B′C-A的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D是A1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段AA1上，當(dāng)AF=
a或2a
a或2a
時(shí)，CF⊥平面B1DF．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BB1，AC1⊥平面A1BD，D為AC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：B1C1⊥平面ABB1A1；
（Ⅱ）設(shè)E是CC1的中點(diǎn)，試求出A1E與平面A1BD所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BB1=BC，AC1⊥平面A1BD，D為AC的中點(diǎn)．
（1）求證：B1C∥平面A1BD；
（2）求證：B1C1⊥平面ABB1A1；
（3）在CC1上是否存在一點(diǎn)E，使得∠BA1E=45°，若存在，試確定E的位置，并判斷平面A1BD與平面BDE是否垂直？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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