Question

經(jīng)市場調(diào)查，某商場的一種商品在過去的一個月內(nèi)（以30天計）銷售價格f（t）（元）與時間t（天）的函數(shù)關系近似滿足f（t）=100（1+

k

t

）（k為正常數(shù)），日銷售量g（t）（件）與時間t（天）的函數(shù)關系近似滿足g（t）=125-|t-25|，且第25天的銷售金額為13000元．
（1）求k的值；
（2）寫出該商品的日銷售金額w（t）關于時間t（1≤t≤30，t∈N）的分段函數(shù)關系式；
（3）試問在過去的一個月內(nèi)（以30天計）的哪一天銷售金額為12100元？

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應用

專題：

分析：（1）由第25天的銷售金額為13000元，我們易得f（25）•g（25）=13000，將f（t）=100（1+

k

t

）、g（t）=125-|t-25|代入易得K值．
（2）由（1）的結(jié)論，將K代入f（t）=100（1+

k

t

）、g（t）=125-|t-25|，即可得到商品的日銷售金額w（t）關于時間t（1≤t≤30，t∈N）的函數(shù)關系式；
（3）由（2）的結(jié)論，判斷函數(shù)的單調(diào)性不難判斷函數(shù)的最小值，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）由題意，得f（25）•g（25）=13000，
即100（1+

k

25

）•125=13000，解得k=1
（2）w（t）=100（1+

1

t

）（125-|t-25|）=

100(t+ 100 t +101)(1≤t＜25) 100(149+ 150 t -t)(25≤t≤30)

（t∈N）；
（Ⅲ）當1≤t＜25時，因為t+

100

t

≥20，
當且僅當當t=10時，w（t）有最小值12100
②當25≤t≤30時，∵

150

t

-t在[25，30]上遞減，
∴當t=30時，w（t）有最小值12400
∴t=10時，w（t）有最小值12100．

點評：函數(shù)的實際應用題，我們要經(jīng)過析題→建�！�解�！�還原四個過程，在建模時要注意實際情況對自變量x取值范圍的限制，解模時也要實際問題實際考慮．將實際的最大（小）化問題，利用函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大（�。┦亲顑�(yōu)化問題中，最常見的思路之一．