Question

已知函數(shù)f（x）=2^x+a×2^-x+1，x∈R．
（1）若a=0，畫出此時(shí)函數(shù)的圖象；（不列表）
（2）若a＜0，判斷函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)a=0，化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，直接畫出此時(shí)函數(shù)的圖象；（不列表）
（2）利用a＜0，判斷函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)的單調(diào)增函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性的定義直接證明即可．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=2^x+a×2^-x+1，x∈R．a(chǎn)=0時(shí)，函數(shù)化為：f（x）=2^x+1，
函數(shù)圖象如圖：
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)的是增函數(shù)，證明如下：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=2x1+

a

2x1

+1-（2x2+

a

2x2

+1）
=2x1-2x2+

a

2x1

-

a

2x2

=(2x1-2x2)(1-

a

2x1+x2

)
=(2x1-2x2)(

2x 1+x2-a

2x1+x2

)
∵y=2x是增函數(shù)，∴2x1＜2x2，
∵2x1+x2＞0，a＜0，
∴2x1+x2-a＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)的是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷，函數(shù)的圖象的畫法，考查計(jì)算能力與作圖能力．