Question

已知sinα+cosα=-

1

5

，且π＜α＜2π，求tanα．

Answer 1

分析：把已知的等式兩邊平方，左邊利用完全平方公式展開(kāi)后，再利用同角三角函數(shù)間的平方關(guān)系化簡(jiǎn)，得出2sinαcosα的值，再利用差的完全平方公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)（sinα-cosα）²后，將2sinαcosα的值代入求出（sinα-cosα）²的值，根據(jù)sinα+cosα小于0且α的范圍，得出α的具體范圍，進(jìn)而得到sinα-cosα小于0，開(kāi)方求出sinα-cosα的值，與sinα+cosα的值聯(lián)立即可求出sinα和cosα的值，最后利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切即可求出tanα的值．

解答：解：∵sinα+cosα=-

1

5

①，
∴（sinα+cosα）²=

1

25

，
即1+2sinαcosα=

1

25

，
解得：2sinαcosα=-

24

25

，
∴（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=

49

25

，
又π＜α＜2π，∴

5π

4

＜α+

π

4

＜

9π

4

，
且sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

）=-

1

5

，即sin（α+

π

4

）=-

2

10

＜0，
∴

5π

4

＜α＜

7π

4

，∴cosα＞sinα，
開(kāi)方得：sinα-cosα=-

7

5

②，
聯(lián)立①②解得：sinα=-

4

5

，cosα=

3

5

，
則tanα=-

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及完全平方公式的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵，同時(shí)注意角度的范圍．