【題目】如圖， 是半圓的直徑， 是半圓上除、外的一個動點， 垂直于半圓所在的平面， ， ， ， .

（1）證明：平面平面；

（2）當三棱錐體積最大時，求二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：

(1)利用題意首先證得平面，然后利用面面垂直的判斷定理即可證得平面平面.

(2)由題意可得，當且僅當時，三棱錐體積最大,建立空間直角坐標系可得二面角的余弦值為.

試題解析：

解：（1）因為是直徑，所以，

因為平面，所以，

因為，所以平面，

因為， ，

所以四邊形是平行四邊形，

所以，所以平面，

因為平面，所以平面平面.

（2）因為平面， ，

所以平面， ，

在中， ，

由（1）知，

當且僅當時，等號成立.

如圖所示，建立空間直角坐標系，則， ， ， .

則， ， ， .

設平面的一個法向量為，

則，即，

∴，取，則

，

設平面的一個法向量為，

則，即，

∴，取，則，

∴，

∴二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知圓心在軸上的圓與直線切于點.

（1）求圓的標準方程；

（2）已知，經(jīng)過原點，且斜率為正數(shù)的直線與圓交于兩點.

（�。┣笞C： 為定值；

（ⅱ）求的最大值.

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【題目】某中學數(shù)學老師分別用兩種不同教學方式對入學數(shù)學平均分和優(yōu)秀率都相同的甲、乙兩個高一新班（人數(shù)均為20人）進行教學（兩班的學生學習數(shù)學勤奮程度和自覺性一致），數(shù)學期終考試成績莖葉圖如下：

（1）學校規(guī)定：成績不低于75分的為優(yōu)秀，請?zhí)顚懴旅娴?/span>聯(lián)表，并判斷有多大把握認為“成績優(yōu)秀與教學方式有關”．

附：參考公式及數(shù)據(jù)

（2）從兩個班數(shù)學成績不低于90分的同學中隨機抽取3名，設為抽取成績不低于95分同學人數(shù)，求的分布列和期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某網(wǎng)站針對2015年中國好聲音歌手A，B，C三人進行網(wǎng)上投票，結果如下

觀眾年齡

支持A

支持B

支持C

20歲以下

100

200

600

20歲以上（含20歲）

100

100

400


（1）在所有參與該活動的人中，用分層抽樣的方法抽取n人，其中有6人支持A，求n的值．
（2）在支持C的人中，用分層抽樣的方法抽取5人作為一個總體，從這5人中任意選取2人，求恰有1人在20歲以下的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，扇形AOB，圓心角AOB等于60°，半徑為2，在弧AB上有一動點P，過P引平行于OB的直線和OA交于點C，設∠AOP＝θ，當△POC面積的最大值時θ的值為___________

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， ，（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）， 使得不等式成立，試求實數(shù)的取值范圍.

（2）若，求證： .

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在△ABC中，已知＝3.

(1)求證：tan B＝3tan A；

(2)若cos C＝，求A的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】平面內(nèi)有向量 =（1，7）， =（5，1）， =（2，1），點X為直線OP上的一個動點．
（1）當 取最小值時，求 的坐標；
（2）當點X滿足（1）的條件和結論時，求cos∠AXB的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】隨著人口老齡化的到來，我國的勞動力人口在不斷減少，“延遲退休”已經(jīng)成為人們越來越關注的話題，為了解公眾對“延遲退休”的態(tài)度，某校課外研究性學習小組在某社區(qū)隨機抽取了50人進行調(diào)查，將調(diào)查情況進行整理后制成下表：

年齡

[20,25)

[25,30)

[30,35)

[35,40)

[40,45)

人數(shù)

4

5

8

5

3

年齡

[45,50)

[50,55)

[55,60)

[60,65)

[65,70)

人數(shù)

6

7

3

5

4

經(jīng)調(diào)查年齡在［25,30),[55,60）的被調(diào)查者中贊成“延遲退休”的人數(shù)分別是3人和2人.現(xiàn)從這兩組的被調(diào)查者中各隨機選取2人，進行跟蹤調(diào)查．

（I）求年齡在［25,30）的被調(diào)查者中選取的2人都贊成“延遲退休”的概率；

（II）若選中的4人中，不贊成“延遲退休”的人數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望．

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