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21、如圖,已知PA與⊙O相切,A為切點,PBC為割線,弦CD∥AP,AD、BC相交于點E,F(xiàn)為CE上一點,且DE2=EF•EC;
(1)求證:∠P=∠EDF;
(2)求證:CE•EB=EF•EP.
分析:(1)根據所給的乘積式和乘積式所用的線段的夾角相等,得到兩個三角形相似,由三角形相似得到對應角相等,根據兩條直線平行,得到內錯角相等,根據等量代換得到結果.
(2)根據第一問做出的結果,和對頂角相等得到兩個三角形相似,根據三角形相似得到對應邊成比例,直接把比例式轉化為乘積式,再根據圓的兩條相交弦定理,得到乘積式,等量代換得到結果.
解答:證明:(1)∵DE2=EF•EC,
∴△EDF~△ECD,
∴∠EDF=∠C,
∵CD∥AP
∴∠C=∠P,
∴∠P=∠EDF
(2)∵∠P=∠EDF;
∠DEF=∠AEP,
∴△EDF~△EPA
∴EF•EP=DE•AE
AD,CB是圓的兩條相交弦,
∴DE•AE=CE•BE
∴CE•EB=EF•EP.
點評:本題考查三角形相似的判定和性質,考查兩條直線平行的性質,考查相交弦定理,考查等量代換,是一個比較簡單的綜合題目.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

選修4-1:幾何證明選講
如圖,已知PA與⊙O相切于點A,PBC為⊙O的割線,弦CD∥AP,AD與BC相交于點E,F(xiàn)為CE上一點,且DE2=EF•EC
(I)求證:A、P、D、F四點共圓
(II)若AE=6,DE=EB=4,求PA的長.

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