已知中心在原點,焦點在x軸上的橢圓短軸的兩個端點與兩個焦點圍成正方形,右準線與x軸的交點為E,右焦點為F2,且|F2E|=1.
(1)求橢圓的方程;
(2)若過F2的直線交橢圓于A.B兩點,且
OA
+
OB
與向量(1,-
2
4
)共線(O為坐標原點),求
OA
OB
的夾角.
分析:(1)由題設知
c
a
=
2
2
a2
c
-c=1
,由此能得到所求橢圓.
(2)當直線AB的斜率不存在時,
OA
+
OB
=(2,0)
,不合題意.當直線AB的斜面率為k時,其方程為y=k(x-1),由
y=k(x-1)
x2
2
+y2=1
,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,設A(x1,y1),B(x2,y2),則
x1+x2=
4k2
1+2k2
x1x2=
2k2-2
1+2k2
,結合
OA
+
OB
與向量(1,-
2
4
)共線由題意得
2k
1+2k2
=
2
k 2
1+2k2
,由此能求出
OA
OB
的夾角.
解答:解:(1)設橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1
,
c
a
=
2
2
a2
c
-c=1
,得a=
2
,c=1,b=1

∴所求橢圓為
x2
2
+y2=1

(2)當直線AB的斜率不存在時,
OA
+
OB
=(2,0)
,不合題意.
當直線AB的斜面率為k時,其方程為y=k(x-1),
y=k(x-1)
x2
2
+y2=1
,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,
設A(x1,y1),B(x2,y2),則
x1+x2=
4k2
1+2k2
x1x2=
2k2-2
1+2k2

OA
+
OB
=(x1+x2,y1+y2)=(x1+x2,k(x1+x2-2))

=(
4k2
1+2k2
,
-2k
1+2k2
)
,
由題意得
2k
1+2k2
=
2
k 2
1+2k2

∴k=0或k=
2

當k=0時,
OA
OB
的夾角為π.
當k=
2
時,∵
OA
OB
=x1x2+y1y2=x1x2+k2[x1x2-(x1+x2)+1]

=
2
5
+2[
2
5
-
8
5
+1]=0
,
OA
OB
的夾角為
π
2
點評:本題考查橢圓的方程和求
OA
OB
的夾角.解題時要認真審題,注意挖掘題設中的隱含條件,靈活運用橢圓的性質(zhì),合理地進行等價轉(zhuǎn)化.
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2
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x2
4
-
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5 
=1
x2
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-
y2
5 
=1

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3
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x2
3
-
y2
9
=1
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3
-
y2
9
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