Question

已知橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn)，且橢圓過點(diǎn)P（0，2）。

（1）求橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線與雙曲線的漸近線平行，且與橢圓相切，求直線的方程。

Answer 1

解：（1）設(shè)橢圓方程為（>b>0）．

雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（– 2 ，0）（2，0），        ……2分

橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（– 2 ，0）（2，0），∴c=2，即a² = b² + 4，……4分

又橢圓過點(diǎn)P（0，2），∴b² = 4，得a² = 8

∴所求橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．                    …… 6分

（2）雙曲線漸近線方程：y = x ,

故設(shè)直線：y = x + m,                               …… 8分

代入橢圓方程得：7x² ±4mx + 2m² – 8 =0，          ……10分

由相切得：△=48m² – 28(2m² – 8 )= 0， 解得m =           ……12分

∴直線的方程是：y = x                       ……    13分