Question

如圖，AD⊥CD，AC⊥BC，AB=4，AD=CD=2，M為線段AB的中點(diǎn)，平面ACD⊥平面ABC．
（1）求證：BC⊥平面ACD；
（2）求二面角D-CM-A的正切值；
（3）求異面直線AC與BD成角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）要證明BC⊥平面ACD．我們根據(jù)可以根據(jù)已知中側(cè)面ADC⊥底面ABC．結(jié)合平面與平面垂直的性質(zhì)定理進(jìn)行證明，即只要說明AC⊥BC即可，
（2）由（1）的結(jié)論，取AC的中點(diǎn)為O，連接DO，OM．建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，然后利用空間向量法，進(jìn)行求解．
（3）要求異面直線BD與CM所成角的余弦值，我們只要求

AC

與

BD

夾角余弦值的絕對(duì)值即可．

解答： 證明：（1）∵AC⊥BC，平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC=AC，BC?平面ABC，
∴BC⊥平面ACD．
解：（2）取AC的中點(diǎn)為O，連接DO，OM，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz如圖所示．
∵AD⊥CD，AC⊥BC，AB=4，AD=CD=2，M為線段AB的中點(diǎn)，
∴OA=OC=OM=OD=

2

，
則A（

2

，0，0），C（-

2

，0，0），D（0，0，

2

），B（-

2

，2

2

，0），M（0，

2

，0）．
∴

CD

=（

2

，0，

2

），

CM

=（

2

，

2

，0），
令

m

=（x，y，z）是平面DCM的一個(gè)法向量，
則

m ⊥ CD m ⊥ CM

，即

m • CD =0 m • CM =0

，
即

2 x+ 2 z=0 2 x+ 2 y=0

，
令x=1，則平面DCM的法向量為

m

=（1，-1，-1），
∵AD=CD，O為AC的中點(diǎn)，
∴OD⊥AC，
又∵平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC=AC，OD?平面ACD，
∴OD⊥平面ABC，即OD⊥平面ACM，
即

OD

=（0，0，

2

）為平面ACM的一個(gè)法向量，
設(shè)銳二面角D-CM-A的平面角為θ，
則cosθ=

| m • OD |

| m |•| OD |

=

6

3

，
則sinθ=

3

3

，tanθ=

2

2

，
即二面角D-CM-A的正切值為

2

2

．
（3）異面直線AC與BD的方向向量分別為：

AC

=（-2

2

，0，0），

BD

=（

2

，-2

2

，

2

），
所以異面直線BD與AC所成角的余弦值為：

| AC • BD |

| AC |•| BD |

=

6

6

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是與二面角有關(guān)的立體幾何問題，建立空間坐標(biāo)系，將二面角問題和異面直線問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題，是解答的關(guān)鍵，難度中檔．