已知定點A(－2，0)，B(2，0)，曲線E上任一點P滿足|PA|－|PB|＝2．

(1)求曲線E的方程；

(2)延長PB與曲線E交于另一點Q，求|PQ|的最小值；

(3)若直線l的方程為x＝a(a≤)，延長PB與曲線E交于另一點Q，如果存在某一位置，使得PQ的中點R在l上的射影C滿足PC⊥QC，求a的取值范圍．

答案：
解析：

　　(1)解：|PA|－|PB|＝2　∴點P的軌跡是以A、B為焦點，焦距為4，實軸長為2的雙曲線的右支，其方程為……(4分)

　　(2)若直線PQ的斜率存在，設斜率為k，則直線PQ的方程為y＝k(x－2)代入雙曲線方程，得(3－k2)x2＋4k2x－4k2－3＝0，由

　　解得k2＞3，……(6分)

　　∴|PQ|＝…(8分)

　　當直線斜率不存在時x1＝x2＝2，得y1＝3，y2＝－3，|PQ|＝6，|PQ|的最小值為6……(10分)

　　(3)當PC⊥CQ時，P、C、Q構(gòu)成直角三角形

　　∴R到直線l的距離　�、�

　　又∵點P、Q都在雙曲線上，

　　∴，

　　∴即|PQ|＝4xR－2，∴　�、�

　　將②代入①得，|PQ|＝2－4a≥6，

　　故有a≤－1……(14分)


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定點A（-2，0），動點B是圓F：（x-2）2+y2=64（F為圓心）上一點，線段AB的垂直平分線交BF于P；
（1）求動點P的軌跡E的方程；
（2）直線y=
3
x+1與曲線E交于M，N兩點，試問在曲線E位于第二象限部分上是否存在一點C，使
OM
+
ON
與
OC
共線（O為坐標原點）？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知定點A（2，0），點Q是圓x2+y2=1上的動點，∠AOQ的平分線交AQ于M，當Q點在圓上移動時，求動點M的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知定點A（2，0）及拋物線y2=x，點B在該拋物線上，若動點P使得
AP
+2
BP
=
0
，求動點P的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•石家莊一模）在平面直角坐標系xOy中，已知定點A（-2，0）、B（2，0），M是動點，且直線MA與直線MB的斜率之積為-
1
4
，設動點M的軌跡為曲線C．
（I）求曲線C的方程；
（II ）過定點T（-1，0）的動直線l與曲線C交于P，Q兩點，是否存在定點S（s，0），使得
SP
•
SQ
為定值，若存在求出s的值；若不存在請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•石家莊一模）在平面直角坐標系xOy中，已知定點A（-2，0）、B（2，0），M是動點，且直線MA與直線MB的斜率之積為-
1
4
，設動點M的軌跡為曲線C．
（I）求曲線C的方程；
（II）過定點T（-1，0）的動直線l與曲線C交于P，Q兩點，若S（-
17
8
，0），證明：
SP
•
SQ
為定值．

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