Question

18．在△ABC中，點D，E分別是邊AB，AC上的一點，且滿足AD=$\frac{1}{2}$AB，AE=$\frac{1}{3}$AC，若BE⊥CD，則cosA的最小值是$\frac{2\sqrt{6}}{7}$．

Answer 1

分析 如圖所示，不妨設C（3，0），B（x，y），A（0，0）．由AD=$\frac{1}{2}$AB，AE=$\frac{1}{3}$AC，可得E（1，0），D$（\frac{x}{2}，\frac{y}{2}）$．由BE⊥CD，可得$\overrightarrow{BE}$$•\overrightarrow{CD}$=0，化為：$（x-\frac{7}{2}）^{2}$+y²=$\frac{25}{4}$．利用直線與圓的位置關系、點到直線的距離公式、同角三角函數(shù)基本關系式即可得出．

解答 解：如圖所示，不妨設C（3，0），B（x，y），A（0，0）
∵AD=$\frac{1}{2}$AB，AE=$\frac{1}{3}$AC，∴E（1，0），D$（\frac{x}{2}，\frac{y}{2}）$．
∵BE⊥CD，
∴$\overrightarrow{BE}$$•\overrightarrow{CD}$=（1-x，-y）•$（\frac{x}{2}-3，\frac{y}{2}）$=$（1-x）（\frac{x}{2}-3）$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=0，
化為：$（x-\frac{7}{2}）^{2}$+y²=$\frac{25}{4}$．圓心G$（\frac{7}{2}，0）$，半徑r=$\frac{5}{2}$．
設圓的切線方程為y=kx（取k＞0）．
則$\frac{\frac{7}{2}k}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{5}{2}$，化為k²=$\frac{25}{24}$，解得k=$\frac{5\sqrt{6}}{12}$．
當AB與⊙G相切時，∠A最大，cosA最�。�
此時tanA=$\frac{5\sqrt{6}}{12}$，
∴cosA=$\frac{12}{\sqrt{1{2}^{2}+（5\sqrt{6}）^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{7}$．
∴cosA的最小值為$\frac{2\sqrt{6}}{7}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{6}}{7}$．

點評 本題考查了直線與圓的位置關系、向量垂直與數(shù)量積的關系、點到直線的距離公式、同角三角函數(shù)基本關系式，考查了數(shù)形結合方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．