Question

18．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P是直線l：x=-1上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F（1，0），點(diǎn)Q為PF的中點(diǎn)，點(diǎn)M滿足MQ⊥PF且$\overrightarrow{MP}$=λ$\overrightarrow{OF}$，過(guò)點(diǎn)M作圓（x-3）²+y²=2的切線，切點(diǎn)分別A，B，則|AB|的最小值為（　�。�

• A． 3
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• D． $\sqrt{6}$

Answer 1

分析 由題意首先求出M的軌跡方程，然后在M滿足的曲線上設(shè)點(diǎn)，只要求曲線上的點(diǎn)到圓心的距離的最小值，即可得到|AB|的最小值．

解答 解：設(shè)M（x，y），由$\overrightarrow{MP}$=λ$\overrightarrow{OF}$，得P（-1，y），
由點(diǎn)Q為PF的中點(diǎn)知 Q（0，$\frac{y}{2}$），
又∵QM⊥PF，∴QM、PF斜率乘積為-1，
即$\frac{y-\frac{y}{2}}{x}•\frac{y}{-1-1}=-1$，
得：y²=4x，
∴M的軌跡是拋物線，
設(shè)M（y²，2y），到圓心（3，0）的距離為d，d²=（y²-3）²+4y²=y⁴-2y²+9=（y²-1）²+8，
∴y²=1時(shí)，d_min=$2\sqrt{2}$，此時(shí)的切線長(zhǎng)為$\sqrt{8-2}=\sqrt{6}$，
∴|AB|的最小值為2×$\frac{\sqrt{6}×\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$=$\sqrt{6}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線軌跡方程的求法以及與圓相關(guān)的距離的最小值求法，屬于中檔題．